الدرس الثالث: التوزيعات الاحتمالية المنفصلة

يقوم التوزيع الاحتمالي المنفصل على ربط قيم المتغير العشوائي باحتمالاتها، بشرط ألا يقل الاحتمال عن صفر وألا يتجاوز الواحد، وأن يكون مجموع الاحتمالات مساوياً للواحد الصحيح. يعتمد الدرس على نماذج شهيرة لحساب هذه الاحتمالات؛ أولها توزيع ذي الحدين الذي يتعامل مع تجارب تتكرر n مرة ولها نتيجتان فقط هما النجاح والفشل، بدالة كتلة احتمالية تعتمد على توافيق ومضروبات ومستويات نجاح p وفشل q. والثاني هو توزيع بواسون الذي يهتم بحساب احتمالات الحوادث النادرة خلال فترة أو مساحة معينة، معتمداً على المتوسط الحسابي $\lambda$ وثابت النيابة الطبيعية e. على سبيل المثال، إذا رميت قطعة نقد معدنية 3 مرات واردت حساب احتمال ظهور صورتين، فإنك تطبق دالة توزيع ذي الحدين بتعويض n=3 واحتمال نجاح p=1/2، لنجد الاحتمال يساوي $\frac{3}{8}$.

الفكرة الأساسية

لو رصدت عدد الأخطاء المطبعية في صفحة كتاب أو عدد مرات ظهور الصورة عند رمي قطعة نقد، فأنت تتعامل مع قيم معدودة لكل منها احتمال محدد — هذه هي فكرة التوزيعات الاحتمالية المنفصلة التي تقيس فرص وقوع الأحداث ذات النتائج المنفصلة.

الشرح

التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل X هو دالة توضح احتمالات قيم المتغير المختلفة عبر جدول أو معادلة. لكي يكون هذا التوزيع صحيحاً، يجب أن يتحقق شرطان أساسيان لكل قيمة x: أولاً أن يكون الاحتمال أكبر من أو يساوي صفر أي $P(X=x_i) \ge 0$ لجميع قيم i، وثانياً أن يكون مجموع الاحتمالات كلها مساوياً للواحد الصحيح أي $\sum P(X=x_i) = 1$.

إضافة إلى الجداول، نستخدم معادلات متخصصة مثل توزيع ذي الحدين عندما تتكرر التجربة n مرة بفرصتي نجاح وفشل، وتُعطى دالة الكتلة الاحتمالية بالمعادلة $P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}$ حيث $p+q=1$، والمتوسط الحسابي هو $\mu = np$ والتباين هو $\sigma^2 = npq$. أما إذا أردنا حساب احتمالات الحوادث النادرة كالأخطاء المطبعية في كتاب أو حوادث المرور، فنستخدم توزيع بواسون بدالته الاحتمالية $P(X=x_i) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ حيث $\lambda$ هو المتوسط الحسابي، ويكون التباين مساوياً للمتوسط الحسابي أي $\lambda$.

مثال محلول خطوة بخطوة

في تجربة رمي قطعة نقود معدنية 3 مرات، إذا كان المتغير العشوائي X يمثل عدد مرات ظهور الصورة، فأوجد دالة توزيع ذي الحدين، ثم احسب المتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X، واحسب احتمال ظهور صورتين.

1. نحدد المعطيات: عدد مرات التجربة $n=3$، احتمال ظهور الصورة في المرة الواحدة $p=\frac{1}{2}$، واحتمال عدم ظهورها $q=\frac{1}{2}$.
2. نكتب دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذي الحدين: $P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}$ حيث $X=0, 1, 2, 3$.
3. بالتعويض المباشر: $P(X=x) = \binom{3}{x} (\frac{1}{2})^x (\frac{1}{2})^{3-x}$.
4. نحسب المتوسط الحسابي: $\mu = np = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.
5. نحسب التباين: $\sigma^2 = npq = (3)(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$.
6. نحسب احتمال ظهور صورتين ($X=2$): $P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{3-2} = (3)(\frac{1}{4})(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن مجموع الاحتمالات يمكن أن يساوي قيمة غير الواحد الصحيح مثل 0.99 أو 1.05.
• كتابة قيمة احتمال بالسالب أو قيمة أكبر من 1، وهذا مخالف لقواعد الاحتمالات.
• الخلط بين استخدام توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون؛ فتوزيع ذي الحدين يرتبط بتجارب ذات محاولات مكررة ونتيجتين (نجاح وفشل)، بينما بواسون يرتبط بالحوادث النادرة المستقلة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: هل التوزيع الاحتمالي الوارد في الجدول الآتي توزيع احتمالي منفصل؟ X: 0, 1, 2 P(X=x): 0.35, 0.15, 0.05 الإجابة: ليس توزيعاً احتمابياً منفصلاً؛ لأن مجموع الاحتمالات يساوي $0.35 + 0.15 + 0.05 = 0.55$ وهو لا يساوي الواحد الصحيح.

السؤال الثاني: إذا كان المتوسط الحسابي لعدد الأخطاء المطبعية في إحدى صفحات كتاب هو 3 أخطاء، فما احتمال عدم حدوث أي خطأ باستخدام توزيع بواسون؟ الإجابة: بالتعويض في دالة بواسون $P(X=x_i) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ حيث $\lambda=3$ و$x=0$: $P(X=0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = 0.05$.