الدرس الرابع: التوزيعات الاحتمالية المتصلة

التوزيع الاحتمالي المتصل يصف المتغير العشوائي الذي يأخذ قيماً في فترة زمنية أو مكانية مستمرة، مثل درجات الحرارة أو الأطوال، بدلاً من القيم المنفصلة. وأهم أنواعه هو التوزيع الطبيعي الذي يشبه منحنى الجرس، ويكون متماثلاً حول وسطه الحسابي، وتساوي المساحة الكلية تحته واحداً صحيحاً. لحساب الاحتمالات في التوزيع الطبيعي، نقوم بتحويل المتغير العشوائي X إلى متغير معياري Z باستخدام صيغة التحويل $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$، ثم نستعين بجداول التوزيع الطبيعي المعياري لمعرفة المساحة المطلوبة. مثال: إذا كان المتوسط $\mu = 72$ والانحراف المعياري $\sigma = 8$، وأردنا حساب احتمال أن تكون القيمة أقل من 60، نحسب أولاً قيمة Z كالتالي: $Z = \frac{60 - 72}{8} = -1.50$، ثم نجد المساحة المقابلة من الجدول لنحصل على الاحتمال المطلوب.

الفكرة الأساسية

عندما تدرس ظواهر مثل أوزان الطلاب أو درجات الحرارة أو أطوال الأشخاص، فإن القيم لا تنقسم إلى أعداد صحيحة فقط، بل تأخذ أي قيمة كسرية داخل مجال حقيقي معين. هذا هو أساس التوزيع الاحتمالي المتصل، وأشهر تطبيقاته هو التوزيع الطبيعي الذي يأخذ شكل منحنى الجرس. الفكرة هي أن المساحة تحت هذا المنحنى تمثل الاحتمال الكلي وتساوي واحداً صحيحاً.

الشرح

التوزيع الطبيعي هو توزيع احتمالي مستمر يتصف بخمس خصائص رئيسية: أولاً، يتخذ المنحنى شكل الجرس. ثانياً، يكون المنحنى متماثلاً حيث يقسمه المستقيم الراسي المار بالوسط إلى قسمين متساويين، وتتساوى فيه قيمة المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال. ثالثاً، تكون المساحة تحت المنحنى تساوي 1. رابعاً، يتقارب المنحنى من المحور الأفقي ولكنه لا يمسه ولا يتقاطع معه. لتسهيل حساب الاحتمالات لهذا التوزيع، نستخدم صيغة التحويل لجعله توزيعاً طبيعياً معيارياً وسطه الحسابي صفر وتباينه واحد، وصيغة التحويل هي: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ حيث $X$ هي القيمة المطلوبة، و$\mu$ هي المتوسط الحسابي، و$\sigma$ هي الانحراف المعياري. بعد حساب قيمة $Z$، نرجع إلى جداول التوزيع الطبيعي المعياري المرفقة لإيجاد المساحة المطلوبة.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كانت درجات 600 طالب في مقرر ما تتبع توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 72 وانحراف معياري 8، وكانت درجة النجاح هي 60، فأوجد النسبة المئوية للطلاب الذين تقع درجاتهم بين 62 و78.

الخطوة الأولى: نكتب الاحتمال المطلوب حسابه للمتغير الأصلي $X$: $P(62 < X < 78)$

الخطوة الثانية: نحول قيم حدود الفترة إلى قيم معيارية باستخدام صيغة التحويل $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: للحد الأدنى: $Z = \frac{62 - 72}{8} = \frac{-10}{8} = -1.25$ للحد الأعلى: $Z = \frac{78 - 72}{8} = \frac{6}{8} = 0.75$

الخطوة الثالثة: نعيد كتابة الاحتمال بدلالة المتغير المعياري $Z$: $P(-1.25 < Z < 0.75)$

الخطوة الرابعة: نقوم بخصم مساحة اليسار لكل قيمة من الجدول: $P(Z < 0.75) - P(Z < -1.25) = 0.7734 - 0.1056 = 0.6678$

الخطوة الخامسة: نضرب الناتج في 100 لنحصل على النسبة المئوية: إذن نسبة الطلاب الذين تقع درجاتهم بين 62 و78 هي $66.78\%$.

أخطاء شائعة

• نسيان قسمة الفرق بين القيمة $X$ والوسط الحسابي $\mu$ على الانحراف المعياري $\sigma$ بالكامل، حيث يبدأ بعض الطلاب بالقسمة أولاً بدلاً من طرح المتوسط.
• الخلط بين إيجاد المساحة الأقل من قيمة موجبة والمساحة الأكبر منها، وعدم الانتباه لطرح المساحة من الواحد الصحيح عندما يطلب احتمال الأكبر من ($Z > z$).
• إهمال الإشارة السالبة عند حساب قيمة $Z$ للقيم التي تقل عن المتوسط الحسابي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، أوجد قيمة الاحتمال الآتي: $P(Z < 1.17)$ الإجابة: بالبحث في الجدول عند الصف 1.1 مع العمود 0.07 نجد أن القيمة تساوي $0.8790$.

السؤال الثاني: إذا كان التوزيع الطبيعي لمتغير ما له وسط حسابي $\mu = 50$ وانحراف معياري $\sigma = 5$، فما هي القيمة المعيارية $Z$ المناظرة للقيمة $X = 57.5$؟ الإجابة: نطبق صيغة التحويل $Z = \frac{57.5 - 50}{5} = \frac{7.5}{5} = 1.5$