الدرس الثاني: الاحتمالات

يقوم علم الاحتمالات على قياس إمكانية وقوع حادثة ما في تجربة عشوائية، ويُحسب بقسمة عدد عناصر الحادثة على عدد عناصر فضاء العينة $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$. يتدرج الدرس في تطوير هذا المفهوم ليشمل قانون الاحتمال الكلي الذي يجمع احتمالات وقوع الحدث عبر عدة مسارات أو آلات متعامدة، وصولاً إلى قانون بييز الذي يعكس السؤال لحساب احتمال أن يكون الحدث قد وقع بفعل سبب معين معلوماً وقوع النتيجة. فمثلاً لو أردنا معرفة احتمال ظهور عدد فردي عند رمي مكعب مرقم من واحد إلى ستة، فإن عدد عناصر الحادثة هو ثلاثة وعناصر فضاء العينة ستة، فيكون الاحتمال ثلاثة على ستة أي نصف أو خمسة من عشرة.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على قياس مدى إمكانية وقوع الأحداث في التجارب العشوائية، والتنقل من الاحتمال البسيط القائم على قسمة عناصر الحادثة على فضاء العينة، إلى حساب الاحتمال الكلي لحدث عبر عدة مصادر أو آلات، ثم عكس العملية عبر قانون بييز لمعرفة الأسباب المؤدية لوقوع حدث معين.

الشرح

ابدأ أولاً بتعريف التجربة العشوائية بأنها أي عملية تحصل منها على نتائج معلومة مسبقاً لكنك لا تعرف أيها سيظهر تحديداً، ومجموعة كل هذه النتائج الممكنة تسمى فضاء العينة ويرمز لها بالرمز $S$. احتمال وقوع أي حادثة $A$ يرمز له بالرمز $P(A)$ ويحسب بالقانون البسيط: $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ حيث $n(A)$ هو عدد عناصر الحادثة، و $n(S)$ هو عدد عناصر فضاء العينة. لقيم الاحتمال مسلمات أساسية: أولها أن قيمة احتمال أي حادثة تتراوح بين الصفر والواحد الصحيح بحيث $0 \le P(A) \le 1$، فالصفر يشير إلى حادثة مستحيلة والواحد يشير إلى حادثة مؤكدة، وكلما زادت قيمة الاحتمال زاد احتمال وقوع تلك الحادثة.

إذا كانت لدينا عدة حوادث متنافية فيما بينها وشاملة لفضاء العينة مثل $A_1, A_2, \dots, A_n$ وكان لدينا حادثة أخرى $B$ مرتبطة بها، فنستعمل قانون الاحتمال الكلي (Law of Total Probability) لحساب احتمال وقوع $B$ كالتالي: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \dots + P(A_n)P(B|A_n) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k)P(B|A_k)$ أما إذا وقعت النتيجة $B$ فعلاً وأردنا معرفة احتمال أن تكون ناشئة عن سبب محدد مثل الآلة $A_i$، فنستخدم قانون بييز (Bayes's Theorem): $P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^{n} P(A_k)P(B|A_k)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$

مثال محلول خطوة بخطوة

في تجربة رمي مكعب الأرقام مرة واحدة، احسب احتمال ظهور عدد فردي. الخطوة الأولى: حدد فضاء العينة للتجربة، ومكعب الأرقام يحتوي على الأرقام من واحد إلى ستة، إذن فضاء العينة هو $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ وعدد عناصر فضاء العينة هو $n(S) = 6$. الخطوة الثانية: حدد عناصر الحادثة المطلوبة $A$ وهي ظهور عدد فردي، إذن $A = \{1, 3, 5\}$ وعدد عناصرها هو $n(A) = 3$. الخطوة الثالثة: طبق قانون الاحتمال: $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن قيمة الاحتمال يمكن أن تكون سالبة أو أكبر من الواحد، والصحيح أنها محصورة تماماً بين الصفر والواحد.
• الخلط بين إيجاد الاحتمال الشرطي في قانون بييز وبين الاحتمال الكلي، حيث يعتمد الأول على قسمة احتمال المسار على المجموع الكلي لاحتمال الحادثة $P(B)$.
• نسيان التأكد من أن الحوادث في الاحتمال الكلي شاملة ومتنافية مثنى مثنى.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في تجربة رمي مكعب الأرقام مرة واحدة، ما احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على اثنين؟ الإجابة: فضاء العينة $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ وعدد عناصرها ستة. الحادثة $B$ هي الأرقام التي تقبل القسمة على اثنين وهي $\{2, 4, 6\}$ وعناصرها ثلاثة. إذن الاحتمال $P(B) = \frac{3}{6} = 0.5$. السؤال الثاني: إذا كانت نسبة إنتاج آلة عشرين بالمئة ونسبة التلف فيها واحد بالمئة، فما هو احتمال أن ينتج المنتج من هذه الآلة ويكون تالفاً؟ الإجابة: نضرب احتمال اختيار الآلة في الاحتمال الشرطي للتلف، أي $0.20 \times 0.01 = 0.002$.