الدرس الأول: المتغيرات العشوائية

المتغير العشوائي هو متغير يأخذ مجموعة من القيم لكل منها احتمال محدد وفق تجربة عشوائية. ينقسم إلى نوعين أساسيين: المتغير العشوائي المنفصل الذي يأخذ قيماً من مجموعة منتهية أو غير منتهية قابلة للعد، والمتغير العشوائي المتصل الذي يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد في نطاق تغيره. فكر في رمي مكعب الأرقام مرة واحدة وظهور رقم معين، فهذه تجربة عشوائية، ومجموعة الأرقام الناتجة تمثل قيم المتغير العشوائي.

الفكرة الأساسية

المتغير العشوائي هو متغير في تجربة أو حدث معين، يأخذ مجموعة من القيم لكل منها احتمال محدد. نربط نتائج التجربة العشوائية بقيم عددية لنتمكن من دراستها وتحليلها رياضياً.

الشرح

التجربة العشوائية هي أي عملية يتم من خلالها الحصول على نتائج سواء كانت أرقاماً أم قياسات أم استجابات، بحيث تكون النتائج الممكنة لهذه العملية معلومة مسبقاً، ولا يمكن تحديد أيها سيتحقق فعلاً قبل إجراء التجربة. والحادثة هي مجموعة جزئية من فضاء العينة وقد تساويه. ينقسم المتغير العشوائي إلى نوعين رئيسيين:

1. المتغير العشوائي المنفصل: هو المتغير الذي يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة منتهية أو غير منتهية ولكنها قابلة للعد، أي أنه يأخذ قيماً منفصلة عن بعضها.
2. المتغير العشوائي المتصل: يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد، بمعنى أن المتغير يأخذ جميع القيم التي تقع في نطاق تغييره.

مثال محلول خطوة بخطوة

في تجربة رمي قطعتي نقود مرتين على التوالي، لنفترض أن المتغير العشوائي X هو عدد مرات ظهور الصورة H في الرميتين، ما قيم المتغير العشوائي X؟ وهل ما إذا كان منفصلاً أو متصلاً؟ الحل:

• في تجربة رمي قطعتي النقود مرتين، تكون مجموعة النتائج الممكنة لفضاء العينة ممثلة في الرسم الشجري، ويكون فضاء العينة كالتالي: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$.
• المتغير العشوائي X هو عدد مرات ظهور الصورة في الرميتين، وبالتالي: الناتج HH يعطي قيمة للمتغير العشوائي $X = 2$. الناتج HT يعطي قيمة للمتغير العشوائي $X = 1$. الناتج TH يعطي قيمة للمتغير العشوائي $X = 1$. الناتج TT يعطي قيمة للمتغير العشوائي $X = 0$.
• من الواضح أن القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير هي $2, 1, 0$.
• يلاحظ أن المتغير يأخذ قيماً منتهية وقابلة للعد، فهو متغير عشوائي منفصل.

أخطاء شائعة

• الخلط بين فضاء العينة وقيم المتغير العشوائي، ففضاء العينة هو مجموعة جميع النتائج الممكنة للتجربة، أما المتغير العشوائي فهو قيمة عددية مرتبطة بتلك النتايج أو الحوادث.
• الاعتقاد بأن المتغير المتصل يمكن حصر قيمه بأعداد صحيحة فقط، والصواب أنه يأخذ جميع القيم الممكنة في فترة معتدلة متصلة لا تقبل العد.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في تجربة رمي مكعب الأرقام مرة واحدة، عيّن الحادثة B التي تمثل ظهور عدد أصغر من أو يساوي 4، وحدد عدد نتائجها. الإجابة: الحادثة B هي $\{4, 3, 2, 1\}$, وعدد نتائجها يساوي 4. السؤال الثاني: إذا كان المتغير العشوائي X يمثل أُرزان الطلاب في مدرستك، فهل X متغير منفصل أم متصل؟ الإجابة: متغير عشوائي متصل؛ لأن أوزان الطلاب تتراوح بين قيم يمكن أن تأخذ أعداداً غير منتهية وغير قابلة للعد ضمن نطاق الأوزان.