الدرس الأول: الارتباط

يقوم درس الارتباط على قياس وتحديد قوة واتجاه العلاقة بين متغيرين؛ هل يرتفعان معاً ارتباط طردي أو يتعاكسان ارتباط عكسي؟. نستخدم للبيانات الكمية معامل ارتباط بيرسون $r$ الذي تتراوح قيمته بين $-1$ و$+1$، حيث يدل اقترابه من الواحد على قوة العلاقة، بينما يدل الصفر على انعدامها. أما للبيانات النوعية الترتيبية فنستخدم معامل ارتباط سبيرمان $R$. فمثلاً، دراسة العلاقة بين درجات الطلاب في الرياضيات والفيزياء تعطينا مؤشراً رقمياً يوضح مدى ترابط التحصيل بين المادتين، ويمكن تمثيل ذلك بصرياً عبر شكل الانتشار الذي يعرض الأزواج المرتبة $(X, Y)$ على المستوى الاحداثي لتسهيل القراءة السريعة لنوع وقوة الارتباط.

الفكرة الأساسية

يدور الدرس حول وصف العلاقة بين متغيرين من حيث قوتها واتجاهها. يتضمن ذلك معرفة ما إذا كان تغير أحد المتغيرين يؤدي إلى تغير المتغير الآخر، مع تحديد نوع الارتباط سواء كان طردياً أو عكسياً، وقوته سواء كان تاما أو قوياً أو متوسطاً أو ضعيفاً أو منعدماً.

الشرح

الارتباط هو وصف علاقة بين متغيرين كل منهما يأخذ قيماً ويمثلان مجموعة من البيانات عند عرضهما معاً بواسطة زوج من المتغيرات العشوائية $(X, Y)$. المتغير $X$ هو المتغير المستقل، والمتغير $Y$ هو المتغير التابع الذي تعتمد قيم المتغير $X$ عليه. أنواع الارتباط نوعان: ارتباط موجب أو طردي، وارتباط سالب أو عكسي. للبيانات الكمية، نعبر عن الارتباط بيانيا من خلال شكل الانتشار وهو وسيلة أولية لمعرفة نوع الارتباطات ومستوى قوتها، حيث يمثل أحد المتغيرين $X$ على المحور الأفقي والمتغير الآخر $Y$ على المحور الرأسي وتحدد النقاط بالأزواج المرتبة $(X, Y)$. لحساب قوة الارتباط بدقة، نستخدم معامل الارتباط $r$ المسمى معامل بيرسون، وتتراوح قيمته بين $-1$ و$+1$ ولا يمكن أن يتجاوز هذا النطاق. تعني قيمة $-1$ ارتباطاً عكسياً تاماً، بينما تعني قيمة $+1$ ارتباطاً طردياً تاماً، وعندما تكون قيمة معامل الارتباط $0$ فتعني أنه لا توجد علاقة بين المتغيرين. أما للبيانات النوعية التي تحتوي على متغيرين نوعيين ترتيبيين، فنستخدم معامل ارتباط سبيرمان ($Spearman$) لقياس مستوى الارتباط بناء على رتب البيانات المرصودة، ويعطى بالصيغة R = 1 - rac{6 \sum d^2}{n(n^2 - 1)} حيث $d = R_X - R_Y$ تعني الفرق بين الرتبتين.

مثال محلول خطوة بخطوة

لدراسة العلاقة بين تقديرات الطلاب في مادة الإحصاء وتقديراتهم في مادة الرياضيات، اختير خمسة طلاب وكانت تقديراتهم على النحو الآتي: الإحصاء $(X)$ (ضعيف، ممتاز، جيد، مقبول، جيد جدا)، الرياضيات $(Y)$ (مقبول، جيد، جيد جدا، ضعيف، ممتاز). هل هناك ارتباط بين المتغيرين $X$ و$Y$ وما نوعه وما مدى قوته؟

الحل خطوة بخطوة: أولا: حساب رتب التقديرات في المتغيرين، بفرض أن التقدير ضعيف تناظره رتبه منخفضة تساوي $1$، يليها تقدير مقبول ويناظره الرتبة $2$، ثم تقدير جيد ويناظره الرتبة $3$، وهكذا. ثانياً: بناء جدول الحسابات لتحديد $R_X$ و$R_Y$ و$d = R_X - R_Y$ ثم $d^2$:

• الطالب الأول: $X$ ضعيف ورتبته $1$، $Y$ مقبول ورتبته $2$، فيكون $d = 1 - 2 = -1$ و$d^2 = 1$.
• الطالب الثاني: $X$ ممتاز ورتبته $5$، $Y$ جيد ورتبته $3$، فيكون $d = 5 - 3 = 2$ و$d^2 = 4$.
• الطالب الثالث: $X$ جيد ورتبته $3$، $Y$ جيد جداً ورتبته $4$، فيكون $d = 3 - 4 = -1$ و$d^2 = 1$.
• الطالب الرابع: $X$ مقبول ورتبته $2$، $Y$ ضعيف ورتبته $1$، فيكون $d = 2 - 1 = 1$ و$d^2 = 1$.
• الطالب الخامس: $X$ جيد جداً ورتبته $4$، $Y$ ممتاز ورتبته $5$، فيكون $d = 4 - 5 = -1$ و$d^2 = 1$. مجموع مربعات الفروق $\sum d^2 = 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = 8$. عدد البيانات $n = 5$. ثالثاً: التعويض في قانون معامل ارتباط سبيرمان: R = 1 - rac{6 \sum d^2}{n(n^2 - 1)} = 1 - rac{6(8)}{5(5^2 - 1)} = 1 - rac{48}{5(24)} = 1 - rac{48}{120} = 1 - 0.4 = 0.6. النتيجة: توجد علاقة ارتباط طردية متوسطة بين تقديرات الطلاب في الإحصاء وتقديراتهم في الرياضيات.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن معامل الارتباط يمكن أن يقل عن $-1$ أو يزيد عن $+1$.
• الخلط بين الرمز الرياضي $(\sum X)^2$ والذي يعني مربع مجموع القيم، وبين $\sum X^2$ الذي يعني مجموع مربعات القيم، فهما قيمتان مختلفتان تماماً.
• الخطأ في تحديد ما إذا كان المتغير مستقلاً $X$ أو تابعاً $Y$ عند تمثيل شكل الانتشار.
• نسيان تربيع قيم الفرق $d$ عند حساب قانون سبيرمان مما يؤدي إلى إلغاء الإشارات بشكل خاطئ.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: توضح البيانات الآتية دخل بعض الأسعر $X$ وإنفاقها الشهري بالمئات الريال $Y$: قيم $X$ هي $65, 68, 50, 39, 48, 58$ وقيم $Y$ هي $67, 68, 51, 35, 39, 52$. احسب معامل الارتباط لهذه البيانات وماذا تستنتج؟ الإجابة: باستخدام صيغة معامل ارتباط بيرسون $r$， يتم حساب المجاميع وتعويضها لنجد أن معامل الارتباط موجباً وقوياً، مما يستنتج أن هناك ارتباطاً طردياً بين دخل الأسر وإنفاقها الشهري.

السؤال الثاني: حدد نوع الارتباط ودرجته في شكل الانتشار الذي توجد فيه النقاط مبعثرة بدون نظام معين ومنتشرة في المستوى الإحداثي. الإجابة: لا يوجد ارتباط بين المتغيرين، أو أن العلاقة بينهما ضعيفة جداً.