الدرس الثالث: مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية هي أدوات إحصائية تجمع البيانات حول قيمة مركزية واحدة لتسهيل وصفها وفهمها. المتوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها ويرمز له بـ $\bar{x}$ للعينات، وهو يتأثر بالقيم المتطرفة. الوسيط هو القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً، وهو لا يتأثر بالقيم المتطرفة لأنه يعتمد على الموقع المكاني. المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً وشيوعاً بين البيانات، وقد يكون للبيانات منوال واحد أو أكثر أو قد لا يكون لها منوال أصلاً، وهو ممتاز مع البيانات النوعية. لنفترض أن درجات خمسة طلاب في اختبار هي: ٦٠، ٧٠، ٨٠، ٩٠، ١٠٠. المتوسط الحسابي هنا هو مجموعها مقسوماً على ٥ ويساوي ٨٠. والوسيط هو القيمة الوسطى تماماً بعد ترتيبها وهي ٨٠. وإذا تكررت درجة ٨٠ مرتين مثلاً، تكون هي المنوال.

الفكرة الأساسية

عندما تجمع بيانات كثيرة، فأنت لا تريد النظر إلى كل رقم على حدة، بل تريد قيمة واحدة تمثل الجميع وتخبرك بأين تركزت هذه البيانات. مقاييس النزعة المركزية تفعل هذا بالضبط، فهي تختصر الأرقام في قيمة مركزية واحدة تعبر عنها، وأبرز هذه المقاييس ثلاثة: المتوسط الحسابي، والوسيط، والمنوال.

الشرح

المتوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها. إذا كان لديك مجتمع ترمز لعدد بياناته بـ $N$ ومتوسطه بـ $\mu$، فتستخدم الصيغة $\mu = \frac{\sum x}{N}$، وإذا كانت عينة يرمز لعدد بياناتها بـ $n$ ومتوسطها بـ $\bar{x}$ (وتقرأ x بار)، فتستخدم الصيغة $\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$ حيث $\sum x$ تعني مجموع كل القيم. من خصائص المتوسط أنه يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة (القيم الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً)، وإذا أضفت قيمة ثابتاً $C$ لكل القيم فإن المتوسط الجديد يرتفع ليصبح $\bar{x} + C$. الوسيط هو القيمة التي تتوسط البيانات تماماً بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً. إذا كان عدد البيانات $n$ فردياً، فالوسيط هو الرقم الموجود في المنتصف ورتبته تحسب بالعلاقة $\frac{n+1}{2}$. أما إذا كان $n$ زوجياً، فالوسيط هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين ورتبتاهما هما $\frac{n}{2}$ و $\frac{n}{2} + 1$. يتميز الوسيط بأنه لا يتأثر بالقيم المتطرفة. المنوال هو القيمة الأكثر شيوعاً وتكراراً بين البيانات. قد يكون للبيانات منوال واحد، أو منوالان (ثنائية المنوال) إذا تساوت قيمتان في أكبر تكرار، أو قد لا يكون لها منوال البتة إذا لم تتكرر أي قيمة. وهو مفيد جداً مع البيانات النوعية مثل فصائل الدم.

مثال محلول خطوة بخطوة

خذ الأرقام التالية التي تمثل أوقات المذاكرة: ٦٠، ٣٠، ١٠٠، ١٢٠، ١٨٠، ٧٠، ٥٠، ٣٠٠، ٨٠، ٤٠، ١٠. أولاً لحساب المتوسط الحسابي: اجمع كل الأرقام ليصبح الناتج ١٠٣٩، ثم اقسمه على عددها وهو ١١، فيكون الناتج $1039 \div 11 = 94.5$. ثانياً لحساب الوسيط: رتب القيم تصاعدياً: ١٠، ٣٠، ٤٠، ٥٠، ٦٠، ٧٠، ٨٠، ١٠٠، ١٢٠، ١٨٠، ٣٠٠. عدد القيم ١١ وهو فردي، إذن رتبة الوسيط هي $\frac{11+1}{2} = 6$. عد القيمة السادسة في الترتيب فتجدها ٨٠، إذن الوسيط يساوي ٨٠. ثالثاً لحساب المنوال: انظر إلى التكرارات، تجد أن الرقم ٣٠ يظهر مرتين بينما باقي الأرقام تظهر مرة واحدة، إذن المنوال هو ٣٠.

أخطاء شائعة

نسيان ترتيب البيانات قبل إيجاد الوسيط، مما يجعلك تأخذ رقماً عشوائياً من منتصف القائمة غير المرتبة. الخلط بين المتوسط والوسيط عند وجود قيم متطرفة ضخمة، حيث يرتفع المتوسط بشكل مخادع بينما يظل الوسيط معبراً بحق عن مركز البيانات الحقيقي. الاعتقاد بأن كل مجموعة بيانات يجب أن تحتوي على منوال بالضرورة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: احسب المتوسط الحسابي للقيم التالية: ١٦٠، ١٦٦، ١٧١، ١٥٨، ١٧٥، ١٦٢، ١٧٣، ١٦٩، ١٨٢، ١٦٥. الإجابة: مجموع القيم يساوي ١٦٧١، وعددها ١٠، إذن المتوسط الحسابي هو $1671 \div 10 = 167.1$. السؤال الثاني: أوجد المنوال لمجموعة القيم الآتية: ٣٠، ٣٠٠، ١٨٠، ١٢٠، ١٢٠، ١٠٠، ٨٠، ٧٠، ٦٠، ٥٠، ٤٠، ٣٠، ١٠. الإجابة: المنوال هما العددان ١٢٠ و ٣٠ لأنهما الأكثر تكراراً.