الدرس الثاني: التمثيلات البيانية للتوزيعات التكرارية

يقوم هذا الدرس على تحويل جداول البيانات والجداول التكرارية إلى رسوم بيانية واضحة لتسهيل فهمها واتخاذ القرارات بناء عليها. يعتمد الدرس على ثلاثة أنواع رئيسية من التمثيلات: المدرج التكراري للبيانات الكمية، والأعمدة البيانية للبيانات النوعية، والقطاعات الدائرية لتوضيح النسب المئوية. في المدرج التكراري، نحسب أولاً الحدود الحقيقية للفئات بطرح 0.5 من الحد الأدنى وإضافة 0.5 إلى الحد الأعلى لتتلامس الأعمدة. أما في الأعمدة البيانية، فنضع المحور الرأس للتكرار والمحور الأفقي للقيم. وفي القطاعات الدائرية، نحسب زاوية كل قطاع بضرب التكرار النسبي في 360 درجة. لو كان لدينا 20 ططالباً وعدد طلاب الصف الأول الثانوي 70 طالباً، فإن زاوية قطاعهم تساوي rac{20}{70} imes 360 = 104.4 درجة.

الفكرة الأساسية

البيانات الخام كثيرة ومعقدة، ولو نظرت إليها لن تستنتج شيئاً سريعاً. تحويلها إلى صور ورسوم يتيح لك فهمها وقراءتها واتخاذ القرارات في ثوانٍ. إذا كانت الأرقام كمية نستخدم المدرج التكراري، وإذا كانت وصفية نوعية نستخدم الأعمدة البيانية أو القطاعات الدائرية.

الشرح

لكل نوع بيانات أداتها المناسبة. للبيانات الكمية نستخدم المدرج التكراري. والمدرج التكراري يشبه الأعمدة لكنه يتميز بأن أعمدته متلاصقة وموتابعة. لماذا متلاصقة؟ لأن الفئات متصلة وليست منفصلة. ولكي نجعل الأعمدة تتلامس ولا يفصل بينها فراغ، نحسب الحدود الحقيقية للفئات. انظر إلى البيانات الصحيحة: نطرح $0.5$ من الحد الأدنى لكل فئة، ونضيف $0.5$ إلى الحد الأعلى لكل فئة. المحور الأفقي يمثل هذه الحدود الحقيقية، والمحور العمودي يمثل التكرار الذي يرمز له بالرمز $f$.

أما البيانات النوعية، فنستخدم لها الأعمدة البيانية، وهي أعمدة رأسية أو مستطيلات متساوية القاعدة، يتناسب ارتفاعها مع تكرار البيانات التي تمثلها، وعادة يخصص المحور الرأس لتمثيل التكرار والمحور الأفقي لتمثيل قيم الظاهرة، وتكون الأعمدة هنا منفصلة لأن الفئات النوعية غير متصلة.

النوع الثالث هو القطاعات الدائرية، وهي تمثيل بياني للبيانات النوعية على شكل دائرة تمثل فيها كل فئة قطاعاً من الدائرة. مجموع النسب في القطاعات الدائرية يساوي $100\%$, ومجموع زوايا الفئات يساوي $360$ درجة. لكي ترسم القطاعات الدائرية تتبع ثلاث خطوات: أولاً تحسب التكرار النسبي لكل فئة بقسمة تكرار الفئة على المجموع الكلي. ثانياً تضرب التكرار النسبي في $360$ للحصول على زاوية كل فئة. ثالثاً تستخدم الفرجار لرسم الدائرة ثم المنقلة لرسم زاوية كل فئة.

مثال محلول خطوة بخطوة

خذ مثالاً على القطاعات الدائرية: إذا كان لديك جدول يوضح ساعات المذاكرة لطلاب المرحلة الثانوية، وكان مجموع الطلاب $70$ طالباً، وطلاب الصف الأول الثانوي يبلغ تكرارهم $20$ ططالباً، فكيف تحسب زاوية قطاعهم؟ الخطوة الأولى: احسب التكرار النسبي للصف الأول الثانوي بقسمة تكرارهم على المجموع الكلي: rac{20}{70} = 0.29. الخطوة الثانية: اضرب التكرار النسبي في $360$ درجة: $0.29 imes 360 = 104.4$ درجة. وهكذا تكرر العملية لبقية الصفوف.

أخطاء شائعة

من الخطأ ترك فراغات بين أعمدة المدرج التكراري؛ المدرج التكراري أعمده متلاصقة لأن الفئات متصلة بينما الأعمدة البيانية منفصلة. ومن الخطأ نسيان تعديل الحدود بطرح وجمع $0.5$ عندما تكون البيانات أعداداً صحيحة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: لماذا لا يمكن استخدام المدرج التكراري لتمثيل البيانات النوعية مثل التقديرات (ممتاز، جيد جدا، جيد)؟ الإجابة: لأن المدرج التكراري مخصص للبيانات الكمية المتصلة التي تتطلب حدودا حقيقية وأعمدة متلاصقة، بينما التقديرات بيانات نوعية منفصلة تمثل بالأعمدة البيانية المنفصلة أو القطاعات الدائرية.

السؤال الثاني: إذا كان تكرار فئة معينة يساوي $15$ ومجموع التكرارات الكلي يساوي $70$, فما زاوية هذه الفئة في القطاعات الدائرية؟ الإجابة: نقسم التكرار على المجموع للحصول على التكرار النسبي: rac{15}{70} hickapprox 0.21, ثم نضرب الناتج في $360$ درجة: $0.21 imes 360 = 75.6$ درجة.