الدرس الأول: التوزيعات التكرارية

يقوم جدول التوزيع التكراري على تنظيم البيانات الكمية أو النوعية الضخمة في فئات ميسرة لفهمها وكشف خصائصها. يتكون الجدول من الحد الأدنى والحد الأعلى وطول الفئة والتكرار ($f$). لإنشاء الجدول، نحدد عدد الفئات ونحسب المدى وهو الفرق بين أعلى قيمة وأقل قيمة، ثم نقسم المدى على عدد الفئات لنصل إلى طول الفئة المناسب. بعد ذلك، نوزع البيانات على الفئات ونحسب تكرار كل فئة ومجموع التكرارات الذي يعبر عنه بالرمز $\sum f$. كما يمكن حساب قيم إضافية لكل فئة مثل مركز الفئة الذي يمثل توسطها، والتكرار النسبي وهو تكرار الفئة مقسوماً على مجموع التكرارات، والتكرار التراكمي، والحدود الحقيقية للفئة. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا درجات طلاب، فنحن نلخصها في فئات مثل (1-5) ونحسب تكرار كل فئة لنحصل على صورة واضحة ومباشرة لتوزيع الدرجات.

الفكرة الأساسية

عندما تواجه أرقاماً كثيرة جداً ومبعثرة، يصعب عليك فهمها واستخلاص أي معلومة منها. لو أردت معرفة مستويات فحص السكر لطلاب مدرسة، أو أسعار أجهزة، فلن يفيدك سرد الأرقام الخام. الفكرة هي تجميع هذه البيانات وتنظيمها في فئات وجداول تكرارية لكي يتسنى لك قراءتها وفهمها واستخراج الخصائص المهمة منها بسهولة.

الشرح

جدول التوزيع التكراري هو جدول يعرض فئات البيانات مع عدد تكرارها في كل فئة، ويرمز لحرف التكرار بـ $f$. يتكون الجدول من:

• الحد الأدنى: يمثل أقل عدد يمكن أن تتضمنه الفئة.
• الحد الأعلى: يمثل أكبر عدد يمكن أن تتضمنه الفئة.
• طول الفئة: يعني المسافة بين الحدود الدنيا للفئتين المتتاليتين، ويحسب بالقانون: طول الفئة = الحد الأدنى للفئة الثانية - الحد الأدنى للفئة الأولى.
• المدى: هو الفرق بين الحد الأعلى للفئة الأخيرة والحد الأدنى للفئة الأولى، ويحسب بالقانون: المدى = الحد الأعلى للفئة الأخيرة - الحد الأدنى للفئة الأولى.

خطوات إنشاء جدول التوزيع التكراري للبيانات:

1. تحديد عدد الفئات المراد تضمينها في التوزيع التكراري، ويجب أن يكون عدد الفئات بين 5 و20 لكي يسهل التعامل معها.
2. حساب طول الفئة بالطريقة الآتية: تحديد مدى البيانات، وقسمة النطاق على عدد الفئات وتقريب الناتج إلى العدد التالي المناسب.
3. حساب حدود الفئات: يمكن تحديد القيمة الأقل في البيانات حدّاً أدنى للفئة الأولى، والقيمة الأكبر في البيانات حدّاً أعلى للفئة الأخيرة. لحساب الحدود الدنيا المتبقية، أضف طول الفئة إلى الحد الأدنى للفئة السابقة. ولحساب الحدود العليا، يكون الحد الأعلى للفئة الأولى أقل بمقدار واحد من الحد الأدنى للفئة الثانية، ثم يضاف طول الفئة إلى الحد الأعلى، وهكذا لإيجاد حدود الفئات المتبقية.
4. حساب تكرار البيانات في كل فئة.
5. حساب مجموع التكرارات لإيجاد إجمالي التكرار ($f$) لكل الفئات، حيث يرمز الرمز اليوناني الكبير $\sum$ إلى مجموع القيم ويقرأ سيجما.

من جدول التوزيع التكراري يمكن إيجاد عناصر أخرى لكل فئة:

• مركز الفئة: القيمة التي تتوسط الفئة، ويتم إيجادها باستخدام القانون: مركز الفئة = $\frac{\text{الحد الأعلى للفئة} + \text{الحد الأدنى للفئة}}{2}$.
• التكرار النسبي للفئة: تكرار الفئة ($f$) مقسوماً على مجموع التكرارات ($\sum f$)، ويتم إيجاده باستخدام القانون: التكرار النسبي = $\frac{\text{تكرار الفئة } (f)}{\text{مجموع التكرارات } (\sum f)}$. ومجموع التكرارات النسبية لجميع الفئات يساوي دائماً 1 أو 100%.
• التكرار التراكمي للفئة: مجموع تكرارات هذه الفئة والفئات التي قبلها.
• الحدود الحقيقية للفئة: لكل فئة حدان حقيقيان، حد أدنى حقيقي وحد أعلى حقيقي، ويتم حسابهما كالتالي: الحد الأدنى الحقيقي = الحد الأدنى - 0.5 الحد الأعلى الحقيقي = الحد الأعلى + 0.5

أما بالنسبة لعرض البيانات النوعية (الصفات)، فيمكن عرضها برسم جدول مكون من عمودين، حيث يمثل العمود الأول الصفات أو الفئات، ويمثل العمود الثاني عدد الأفراد المنتمين لكل صفة أو فئة، ويرمز لتكرار الفئة بـ ($n_c$). ومجموع التكرارات لكل فئة يساوي حجم العينة الإجمالي، أي أن $\sum n_c = n$.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنفترض أن لدينا بيانات تمثل درجات الطلاب في مادة اللغة الإنجليزية، ونريد أن ننشئ جدولاً تكرارياً لدرجات الطلاب يحتوي على ست فئات.

الخطوات:

1. عدد الفئات = 6
2. نحدد أقل قيمة في البيانات وهي (1) وأعلى قيمة وهي (30)، ثم نحسب المدى: المدى = أعلى قيمة - أقل قيمة = 30 - 1 = 29
3. نحسب طول الفئة: طول الفئة = $\frac{\text{المدى}}{\text{عدد الفئات}} = \frac{29}{6} = 4.83 \approx 5$
4. يمثل العدد الأصغر (1) في البيانات الحد الأدنى للفئة الأولى، وتكون الحدود الدنيا للفئتين الست الأخرى هي: 1 + 5 = 6 6 + 5 = 11 وهكذا.
5. يمثل الرقم (5) الحد الأعلى للفئة الأولى، وهو أقل بمقدار واحد من الحد الأدنى للفئة الثانية، وتكون الحدود العليا للفئات الأخرى هي: 5 + 5 = 10 10 + 5 = 15 وهكذا.
6. نحدد عدد الدرجات التي تنتمي لكل فئة على حدة لتحديد تكرار هذه الفئة، فمثلاً الدرجات 5، 3، 2، 1، 1 في الفئة الأولى (1-5) يكون تكرار هذه الفئة 5.
7. نعبر بالرمز $\sum f$ عن مجموع تكرارات الفئات ليصبح الناتج النهائي 36.

أخطاء شائعة

• الخطأ في تقريب طول الفئة أو عدم تقريبها إلى العدد الصحيح التالي المناسب مما يؤدي إلى عدم استيعاب كل البيانات.
• تداخل الحدود بين الفئات، مثل جعل الحد الأعلى للفئة الأولى مساوياً للحد الأدنى للفئة الثانية في البيانات المنفصلة، والصحيح أن يكون أقل بمقدار واحد أو استخدام الحدود الحقيقية بدقة.
• نسيان أن مجموع التكرارات النسبية لجميع الفئات يجب أن يساوي دائماً 1 أو 100%، والوقوع في أخطاء حسابية عند قسمة تكرار الفئة على المجموع الكلي.
• الخلط بين الحد الأعلى للفئة والحد الأعلى الحقيقي، وعدم طرح أو جمع القيمة 0.5 بالشكل الصحيح عند إيجاد الحدود الحقيقية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان لديك توزيع تكراري لأسعار أجهزة بعدد 7 فئات، وكان المدى يساوي 391، فما هو طول الفئة بعد التقريب؟ الإجابة: طول الفئة = $\frac{391}{7} = 55.86 \approx 56$.

السؤال الثاني: في جدول تكراري نوعي يمثل الحصول على البدلات المالية، إذا كان عدد الموظفين الذين لم يحصلوا على البدلات 4، وعدد الذين حصلوا عليها 2، فما هو التكرار النسبي للموظفين الذين حصلوا على البدلات؟ الإجابة: مجموع الموظفين = 4 + 2 = 6، والتكرار النسبي للذين حصلوا على البدلات = $\frac{2}{6} = 0.33$.