موجات المادة

يقوم درس موجات المادة على فكرة جريئة اقترحها العالم دي برولي عام 1923، وهي أن الأجسام المادية المتحركة مثل الإلكترونات والكرات تمتلك خصائص موجية تماماً كما أن للفوتونات خصائص جسيمية. يعبر عن طول موجة دي برولي بالمعلاقة $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ حيث $h$ ثابت بلانك و$p$ زخم الجسم. وبسبب صغر قيمة ثابت بلانك، فإن الأطوال الموجية للأجسام الكبيرة مثل كرة المضرب تكون قصيرة جداً لدرجة لا يمكن ملاحظتها، بينما تظهر بوضوح في الجسيمات الصغري كالکترونات. ومن التطبيقات المهمة على ذلك المجهر الأنبوبي الماسح (STM) الذي يصور الذرات. كما يتناول الدرس مبدأ عدم التحديد لهيزنبرج الذي ينص على أنه من غير الممكن تحديد موقع جسيم وزخمه بدقة في الوقت نفسه.

الفكرة الأساسية

تذكر أن الضوء يسلك سلوكاً مزدوجاً، فهو يتصرف أحياناً كجسيمات وأحياناً كموجات. في هذا الدرس، نعكس الفكرة تماماً: هل تتصرف الأجسام المادية أو الجسيمات كالکترونات والكرات كموجات؟ اقترح العالم دي برولي أن الأجسام المادية المتحركة لها خصائص موجية، ويسمى الطول الموجي المصاحب للجسيم المتحرك طول موجة دي برولي.

الشرح

لكل جسم متحرك كتلة $m$ وسرعة $v$ زخم يساويه $p = mv$. وقیاساً على زخم الفوتون، توقع دي برولي أن زخم الجسيم يعبر عنه بالمعادلة $p = \frac{h}{\lambda}$. وبإعادة ترتيب المعادلة، يصبح طول موجة دي برولي يحسب من العلاقة:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$

حيث $\lambda$ هو طول موجة دي برولي، و$h$ هو ثابت بلانك، و$m$ كتلة الجسم، و$v$ سرعته. بما أن قيمة ثابت بلانك صغيرة جداً، فإن الأطوال الموجية للأجسام اليومية الكبيرة تكون قصيرة للغاية ولا يمكن ملاحظتها عملياً؛ فمثلاً كرة تكتلتها $0.145\text{ kg}$ وسرعتها $38\text{ m/s}$ يكون طول موجتها صغيراً جداً يقدر بـ $1.2 \times 10^{-34}\text{ m}$. على النقيض من ذلك، فإن الجسيمات الصغيرة جداً كالإلكترونات تظهر خصائص موجية واضحة كالحيود والتداخل عند مرورها عبر بلورات رقيقة أو شق مزدوج.

يرتبط بذلك مبدأ عدم التحديد لهيزنبرج، والذي ينص على أنه من غير الممكن قياس زخم جسيم وتحديد موقعه بدقة في الوقت نفسه. فعند محاولة تحديد موقع جسيم بدقة باستخدام إشعاع ذي طول موجي قصير، يصطدم الفوتون بالجسيم ويغير من زخمه، وكلما زادت دقة تحديد الموقع زاد عدم التحديد في قياس الزخم.

مثال محلول خطوة بخطوة

إليك مثال مسار إلكترون: إذا تسارع إلكترون خلال فرق جهد $75\text{ V}$، فما مقدار طول موجة دي برولي المصاحبة له؟

الخطوة الأولى: تحليل المسألة ورسمها والمعطيات: $V = 75\text{ V}$ $m = 9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}$ $h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ J.s}$ $q = -1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$ المجهول هو طول الموجة $\lambda = ?$

الخطوة الثانية: إيجاد الكمية المجهولة: نكتب علاقتي طاقة حركة الإلكترون: العلاقة الأولى بدلالة فرق الجهد $KE = -qV$، والعلاقة الثانية بدلالة السرعة $KE = \frac{1}{2}mv^2$. نجري العلاقتين ببعضهما: $\frac{1}{2}mv^2 = -qV$ نحل بالنسبة للمتغير $v$: $v = \sqrt{\frac{-2qV}{m}}$ بالتعويض بالأرقام: $v = \sqrt{\frac{-2(-1.60 \times 10^{-19}\text{ C})(75\text{ V})}{9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}}} = 5.1 \times 10^6\text{ m/s}$ الآن نحسب الزخم $p$: $p = mv = (9.11 \times 10^{-31}\text{ kg})(5.1 \times 10^6\text{ m/s}) = 4.6 \times 10^{-24}\text{ kg.m/s}$ الآن نجد طول موجة دي برولي $\lambda$: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}\text{ J.s}}{4.6 \times 10^{-24}\text{ kg.m/s}} = 1.4 \times 10^{-10}\text{ m} = 0.14\text{ nm}$

الخطوة الثالثة: تقويم الجواب: الوحدات صحيحة، والناتج يقع في منطقة الطول الموجي للأشعة السينية في الطيف الكهرومغناطيسي وهو جواب منطقي.

أخطاء شائعة

• الخلط بين كتلة وسرعة الجسيمات الكبيرة والجسيمات دون الذرية عند حساب طول موجة دي برولي، مما يجعلك تعتقد أن الأجسام الكبيرة تظهر سلوكاً موجياً واضحاً في الحياة اليومية.
• نسيان تحويل الوحدات أو إهمال الأسس السالبة عند التعويض بقيمة ثابت بلانك أو كتلة الإلكترون.
• الاعتقاد الخاطئ بأن مبدأ عدم التحديد لهيزنبرج ناجم عن عدم دقة أجهزة القياس، بينما هو في الحقيقة نتيجة أساسية للطبيعة المزدوجة للضوء والمادة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: تدحرجت كرة بولينج كتلتها $7.0\text{ kg}$ بسرعة $8.5\text{ m/s}$. ما مقدار طول موجة دي برولي المصاحبة للكرة؟ ولماذا لا تظهر كرة البولينج سلوكاً موجياً ملاحظاً؟ الإجابة: طول موجة دي برولي يساوي $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(7.0)(8.5)} = 1.1 \times 10^{-35}\text{ m}$. ولا تظهر الكرة سلوكاً موجياً ملاحظاً لأن أطوالها الموجية قصيرة جداً ولا يمكن قياسها في الحياة اليومية.

السؤال الثاني: إذا تسارع إلكترون خلال فرق جهد $250\text{ V}$، فاحسب مقدار سرعته وطول موجة دي برولي المصاحبة له. الإجابة: السرعة تساوي $v = \sqrt{\frac{-2qV}{m}} = \sqrt{\frac{-2(-1.60 \times 10^{-19})(250)}{9.11 \times 10^{-31}}} = 9.38 \times 10^6\text{ m/s}$. والزخم يساوي $p = mv = (9.11 \times 10^{-31})(9.38 \times 10^6) = 8.55 \times 10^{-24}\text{ kg.m/s}$. إذن طول موجة دي برولي يساوي $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{8.55 \times 10^{-24}} = 7.75 \times 10^{-11}\text{ m}$ أي ما يعادل $0.078\text{ nm}$.