تفاعلات المجالات الكهربائية والمغناطيسية والمادة

يدرس هذا الدرس كيفية تفاعل الجسيمات المشحونة مع المجالات الكهربائية والمغناطيسية وتطبيقات ذلك في أنبوب الأشعة المهبطية ومطياف الكتلة. الفكرة الأساسية تقوم على إطلاق جسيم مشحون بسرعة محددة عبر مجالين متعامدين لكي تتزن القوة الكهربائية وقوة المجال المغناطيسي، مما يمكننا من حساب سرعة الجسيم أو نسبة شحنته إلى كتلته ومن ثم معرفة كتلته بدقة. فمثلاً، إذا أطلقت بروتوناً بشحنة $1.602 imes 10^{-19} ext{ C}$ وكتلة $1.67 imes 10^{-27} ext{ kg}$ داخل مجال مغناطيسي وقست نصف قطر مساره الدائري، تستطيع حساب سرعته بكل سهولة باستخدام القوانين الرياضية للحركة الدائرية المتزنة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول التحكم في حركة الجسيمات المشحونة، مثل الإلكترونات والأيونات، باستخدام مجالات كهربائية ومغناطيسية متعامدة. عندما يتحرك جسيم مشحون بشحنة $q$ وسرعة $v$ داخل مجال مغناطيسي $B$، يتأثر بقوة مغناطيسية تساوي $Bqv$. وإذا دخل منطقة فيها مجال كهربائي $E$ ومجال مغناطيسي $B$ متعامدان، فإن تعديل هذين المجالين يتيح لنا اختيار جسيمات ذات سرعة محددة تسلك مساراً مستقيماً دون انحراف، لأن القوة الكهربائية $qE$ تساوي وتعاكس القوة المغناطيسية $Bqv$.

الشرح

نبدأ بأنبوب الأشعة المهبطية حيث يتولد مجال كهربائي بين المهبط والمصد لتسريع الإلكترونات. عند مرور حزمة الإلكترونات خلال مجال مغناطيسي $B$ عمودي على اتجاهها، تؤثر عليها قوة مغناطيسية $Bqv$ تحرفها نحو الأسفل في مسار دائري. نكتب معادلة القوة المغناطيسية مساوية لقوة التسارع المركزي للنيوتن: Bqv = rac{mv^2}{r} حيث $m$ كتلة الإلكترون و$r$ نصف قطر المسار الدائري. بحل هذه المعادلة نجد أن نسبة الشحنة إلى الكتلة تساوي rac{q}{m} = rac{v}{Br}. أما إذا أردنا معرفة سرعة الجسيمات التي تمر دون انحراف عند تساوي القوتين، فنستخدم العلاقة $qE = Bqv$ ومنها نحسب السرعة بمعرفة المجالين الكهربائي والمغناطيسي: v = rac{E}{B}. في مطياف الكتلة، نستخدم هذه المبادئ لفصل الأيونات ذات الكتل المختلفة؛ إذ تنتج الأيونات الموجبة عبر تصادم الإلكترونات بالغازات، ثم تُسارع عبر فرق جهد $V$ لتكتسب طاقة حركية KE = rac{1}{2}mv^2 = qV. ومن خلال إدخالها في مجال مغناطيسي، تسلك مساراً دائرياً نصف قطره $r$، وتصبح نسبة الشحنة إلى الكتلة معطاة بالعلاقة rac{q}{m} = rac{2V}{B^2r^2}.

مثال محلول خطوة بخطوة

مسألة: نصف قطر المسار يتحرك إلكترون كتلته $m = 9.11 imes 10^{-31} ext{ kg}$ بسرعة $v = 2.0 imes 10^5 ext{ m/s}$ داخل أنبوب أشعة المهبط عمودياً على مجال مغناطيسي مقداره $B = 3.5 imes 10^{-2} ext{ T}$. فإذا فصل المجال الكهربائي، فما مقدار نصف قطر المسار الدائري الذي سلكه الإلكترون؟ الخطوة ١ (التحليل ورسم المسار): نحدد المعطيات وهي $v = 2.0 imes 10^5 ext{ m/s}$ و$B = 3.5 imes 10^{-2} ext{ T}$ و$m = 9.11 imes 10^{-31} ext{ kg}$ وشحنة الإلكترون $q = 1.602 imes 10^{-19} ext{ C}$، والمجهول هو نصف القطر $r$. الخطوة ٢ (إيجاد الكمية المجهولة): نستخدم قانون الحركة في المجال المغناطيسي Bqv = rac{mv^2}{r}، ونرتب المعادلة لإيجاد $r$: r = rac{mv}{Bq}. نعوض بالأرقام: r = rac{(9.11 imes 10^{-31} ext{ kg})(2.0 imes 10^5 ext{ m/s})}{(3.5 imes 10^{-2} ext{ T})(1.602 imes 10^{-19} ext{ C})} بحساب الناتج نجد أن نصف القطر يساوي $r = 3.3 imes 10^{-5} ext{ m}$. الخطوة ٣ (تقويم الجواب): الوحدات صحيحة لأن وحدة نصف قطر المسار الدائري هي وحدة قياس الطول وتقاس بالأمتار.

أخطاء شائعة

• الخلط بين اتجاه انحراف الجسيمات سالبة الشحنة (مثل الإلكترونات) وموجبة الشحنة (مثل البروتونات والأيونات الموجبة)، حيث تنحرف باتجاهين متعاكسين لاختلاف إشارة الشحنة.
• نسيان تربيع المجال المغناطيسي $B$ أو نصف القطر $r$ عند التعويض في قانون مطياف الكتلة النهائي rac{q}{m} = rac{2V}{B^2r^2}.
• الخطأ في استخدام الأسس السالبة والموجبة أثناء التعويض بقيم الكتلة والشحنة العشائرية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: يتحرك بروتون بسرعة $7.5 imes 10^3 ext{ m/s}$ عمودياً على مجال مغناطيسي مقداره $0.60 ext{ T}$. احسب نصف قطر مساره الدائري إذا علمت أن شحنة البروتون مساوية لشحنة الإلكترون وكتلته $1.67 imes 10^{-27} ext{ kg}$. الإجابة: نستخدم العلاقة r = rac{mv}{Bq}، ونعوض بالقيم: r = rac{(1.67 imes 10^{-27})(7.5 imes 10^3)}{(0.60)(1.602 imes 10^{-19})} = 1.3 imes 10^{-4} ext{ m}.

السؤال الثاني: تتحرك إلكترونات خلال مجال مغناطيسي مقداره $6.0 imes 10^{-2} ext{ T}$، قد اتزنت بفعل مجال كهربائي مقداره $3.0 imes 10^3 ext{ N/C}$. ما مقدار سرعة الإلكترونات عندئذ؟ الإجابة: نستخدم علاقة اتزان القوتين v = rac{E}{B}، ونعوض بالقيم: v = rac{3.0 imes 10^3}{6.0 imes 10^{-2}} = 5.0 imes 10^4 ext{ m/s}.