المرايا الكروية (١)

تدور فكرة المرايا الكروية حول عكس الضوء بواسطة أسطح منحنحة على شكل جزء من كرة، وتنقسم إلى نوعين أساسيين: مرايا مقعرة تجمع الضوء وتكون صوراً حقيقية أو خيالية حسب موقع الجسم، ومرايا محدبة تفرّق الضوء وتكون دائماً صوراً خيالية مصغرة ومعتدلة وتوسع مجال الرؤية. نستخدم معادلة المرايا الكروية $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} + \frac{1}{d_o}$ لحساب مواقع الصور، ومعادلة التكبير $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$ لمعرفة أطوالها واتجاهها. على سبيل المثال، لو وضعت جسماً أمام مرآة مقعرة ببعد بؤري $10.0\text{ cm}$ على بعد $30.0\text{ cm}$، ستتكون له صورة حقيقية مقلوبة على بعد $15.0\text{ cm}$.

الفكرة الأساسية

تعتمد المرايا الكروية على عكس الضوء باستخدام أسطح عاكسة منحنحة مأخوذة من كرة. إذا نظرت إلى السطح الداخلي لملعقة فستجدها مرآة مقعرة تجمع الأشعة الساقطة الموازية للمحور الرئيس في نقطة تسمى البؤرة $F$. أما السطح الخارجي فيعمل مرآة محدبة تفرق الأشعة الساقطة وتبدو كأنها تتجمع خلف المرآة.

الشرح

لكل مرآة كروية مركز تكور $C$ وبؤرة $F$ تقع في منتصف المسافة بين مركز التكور وقطر المرآة $M$، ويعبر عن البؤرة بالمعلاقة $\frac{r}{2} = f$. لتحديد مكان وطول الصورة، نستخدم معادلة المرايا الكروية: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} + \frac{1}{d_o}$ حيث $f$ هو البؤرة، و$d_i$ هو بعد الصورة عن المرآة، و$d_o$ هو بعد الجسم عنها. ولحساب حجم واتجاه الصورة نستخدم معادلة التكبير: $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$ حيث $h_i$ طول الصورة و$h_o$ طول الجسم. في المرايا المقعرة، إذا وضع الجسم بين البؤرة ومركز التكور تتكون صورة حقيقية ومكبرة، وإذا وضع خلف مركز التكور تتكون صورة حقيقية ومصغرة. أما في المرايا المحدبة، فالصورة دائماً خيالية ومعتدلة ومصغرة لأن البؤرة وبعد الصورة يقعان خلف المرآة بقيم سالبة.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى مسألة وضع جسم طوله $h_o = 2.0\text{ cm}$ أمام مرآة مقعرة نصف قطرها $r = 20.0\text{ cm}$ وعلى بعد $d_o = 30.0\text{ cm}$. المطلوب إيجاد بعد الصورة وطولها. الخطوة الأولى: نحسب البؤرة من العلاقة $f = \frac{r}{2}$ ليصبح الناتج $f = \frac{20.0}{2} = 10.0\text{ cm}$. الخطوة الثانية: نطبق معادلة المرايا لإيجاد $d_i$: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} + \frac{1}{d_o}$ $\frac{1}{10.0} = \frac{1}{d_i} + \frac{1}{30.0}$ ننقل الكسور ونوحد المقامات ليصبح $d_i = 15.0\text{ cm}$ وهي صورة حقيقية أمام المرآة. الخطوة الثالثة: نحسب طول الصورة من معادلة التكبير: $h_i = \frac{-d_i h_o}{d_o}$ $h_i = \frac{-(15.0)(2.0)}{30.0} = -1.0\text{ cm}$ والإشارة السالبة تعني أن الصورة مقلوبة ومصغرة.

أخطاء شائعة

نسيان وضع الإشارة السالبة لبعض الكميات مثل البعد البؤري في المرايا المحدبة أو بعد الصورة الخيالية، مما يتسبب في نتائج خاطئة تماماً عند التعويض في المعادلات. الخطأ الثاني هو الخلط بين وحدات القياس وعدم توحيدها بين السنتيمتر والمتر في المسألة الواحدة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: وضع جسم على بعد $36.0\text{ cm}$ أمام مرآة مقعرة بعدها البؤري $16.0\text{ cm}$. أوجد بعد الصورة. الإجابة: بالتعويض في معادلة المرايا الكروية ينتج أن بعد الصورة يساوي $28.8\text{ cm}$. السؤال الثاني: وضعت فتاة طولها $1.8\text{ m}$ على بعد $2.4\text{ m}$ من مرآة، فتكونت لها صورة طولها $0.36\text{ m}$. ما البؤرة للمرآة وهل هي مقعرة أم محدبة؟ الإجابة: بما أن طول الصورة أصغر من طول الجسم والصورة معتدلة وتكونت خلف المرآة، فهذه مرآة محدبة، ونحسب التكبير $m = \frac{0.36}{1.8} = 0.2$ ومن ثم نجد بعد الصورة $d_i = -0.48\text{ m}$ ونحسب البؤرة لتكون $f = -0.6\text{ m}$.