حفظ الزخم (١)
انظر إلى الشكل ٣-٤: عندما تصطدم الكرة C بالكرة D، تؤثر كل منهما في الأخرى بقوة متبادلة خلال فترة زمنية محددة. من قانون نيوتن الثالث، تكون القوتان متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الاتجاه، أي . وبما أن التغير في الزخم يساوي الدفع، والدفع هو القوة مضروبة في الزمن، فإن التغير في زخم الكرة C هو ، وتغير زخم الكرة D هو . وبجمع هاتين المعادلتين بناءً على تساوي القوتين زمنياً واتجاهياً، نصل إلى أن مجموع الزخم الابتدائي للكرتين قبل التصادم يساوي مجموع الزخم النهائي بعد التصادم ، وهو ما يعبر عنه بقانون حفظ الزخم للنظام.
يقوم درس حفظ الزخم على قانون نيوتن الثالث، والذي يضمن أن القوى المتبادلة بين جسمين داخل نظام مغلق ومعزول تكون متساوية في المقدار ومتعاكسة في الاتجاه، مما يجعل التغير في الزخم الكلي يساوي صفراً. هذا يعني أن مجموع الزخم للأجسام قبل أي تفادم أو انفجار أو ارتداد يساوي تماماً مجموع الزخم بعدها. على سبيل المثال، إذا أطلق رائد فضاء كتلته غازاً من مسدس كتتلته بسرعة ، فإن الزخم الابتدائي للنظام يكون صفراً، وبناءً على قانون حفظ الزخم يتحرك رائد الفضاء بالاتجاه المعاكس بسرعة جديدة تحسب عبر مساواة زخم الغاز بزخم الرائد. ينطبق هذا القانون على التصادمات في بعد واحد وفي بعدين عبر تحليل المركبات الأفقية والرأسية.
الفكرة الأساسية
يعتمد درس حفظ الزخم على فكرة رئيسية مفادها أن الزخم الكلي لأي نظام مغلق ومعزول يظل ثابتاً لا يتغير، بغض النظر عن تفاعلات الأجسام داخله كالاصطدام أو الانفجار أو الارتداد. عندما يؤثر جسمان أحدهما في الآخر بقوة، فإن قانون نيوتن الثالث يضمن أن هاتين القوتين متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتجاه، ومعه يكون الدفع المبذول على الجسم الأول مساوياً ومعاكساً للدفع على الجسم الثاني، مما يحافظ على ثبات الزخم الكلي للنظام.
الشرح
لكي نفهم حفظ الزخم رياضياً، ننظر إلى تفاعل جسمين نسميهما C و D في نظام مغلق ومعزول. القوة التي يؤثر بها الجسم C في D تعطى بالعلاقة ، والقوة المعاكسة هي ، وبحسب قانون نيوتن الثالث فإن . عند ضرب هذه القوى في فترة الزمن نفسها نحصل على الدفع، وبما أن الدفع يساوي التغير في الزخم، فإن التغير في زخم الجسم C مضافاً إليه التغير في زخم الجسم D يساوي صفراً: وبإعادة ترتيب المعادلة، نصل إلى صيغة قانون حفظ الزخم: وهذا يعني أن مجموع الزخم النهائي لجميع أجزاء النظام بعد التصادم يساوي مجموع الزخم الابتدائي قبل التصادم. يشترط لتحقق ذلك شرطان:
- أن يكون النظام مغلقاً، أي لا يكتسب كتلة ولا يفقدها.
- أن يكون النظام معزولاً، أي أن محصلة القوى الخارجية المؤثرة عليه تساوي صفراً، وتُهمل قوى الاحتكاك الصغيرة عادةً في المسائل. في التصادمات ذات البعدين، نطبق قانون حفظ الزخم على المركبات المستقلة لكل محور، بحيث يكون مجموع مركبات الزخم الابتدائي على المحور الأفقي يساوي مجموع المركبات النهائية، وكذلك على المحور الرأسي :
مثال محلول خطوة بخطوة
لنفترض سيارة C كتلتها تحركت شمالاً بسرعة ، واصطدمت بالسيارة D التي كتلتها وكانت تتحرك شرقاً بسرعة ، فالتحمت السيارتان معاً بعد التصادم. نريد إيجاد مقدار وسرعتهما واتجاههما.
- تحليل المسألة ورسمها:
- نحدد النظام المكون من السيارتين.
- نبني محاور الإحداثيات بحيث يكون المحور الرأسي نحو الشمال، والمحور الأفقي نحو الشرق.
- نكتب المعطيات والمجاهيل: المجھول هو المركبة النهائية و والزاوية .
إيجاد الكمية المجهولة: نحسب زخم السيارة C الابتدائي باتجاه الشمال: نحسب زخم السيارة D الابتدائي باتجاه الشرق: من قانون حفظ الزخم على المحورين الأفقي والرأسي: نحسب مقدار الزخم الكلي النهائي من نظرية فيثاغورس:
تقويم الجواب: الوحدات صحيحة وتقاس بـ ، والمنطق الرياضي يقع بين اتجاهات الحركتين.
أخطاء شائعة
- الخلط بين النظام المعزول والنظام غير المعزول، وإغفال تأثير القوى الخارجية كقوة الاحتكاك مع الأرض.
- جمع مقادير الزخم جبرياً مباشرة في التصادمات ثنائية الأبعاد بدلاً من فصلها إلى مركبات أفقية ورأسية ( و ).
- إهمال الإشارات الساتبة والموجبة لمتجهات السرعة عند التعويض في قوانين حفظ الزخم.
- نسيان توحيد وحدات القياس (مثل التحويل من الجرام إلى الكيلوجرام أو من السنتيمتر إلى المتر) قبل بدء الحساب.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اصطدمت سيارتا شحن كتلة كل منهما فالصقتا معا، فإذا كانت سرعة إحداهما قبل التصادم مباشرة ، وكانت الأخرى ساكنة، فما سرعتهما النهائية؟ الإجابة: بما أن الكتلتين متساويتان وتلتحقان معاً، يحفظ الزخم كالتالي: ، ومنها تكون السرعة النهائية .
السؤال الثاني: يتحرك قرص هوكي كتلته بسرعة ، فيمسك به حارس مرمى كتلته في حالة سكون. ما السرعة التي ينزلق بها حارس المرمى على الجليد؟ الإجابة: بتطبيق قانون حفظ الزخم (مجموع الزخم قبل التصادم يساوي مجموع الزخم بعده): .