ديناميكا الحركة الدورانية

يقوم درس ديناميكا الحركة الدورانية على دراسة كيفية إحداث الدوران وتغيير السرعة الزاوية للأجسام، ومفهوم العزم بوصفه مقياساً لمقدرة القوة على إحداث الدوران. يعتمد العزم على مقدار القوة وطول ذراع القوة والزاوية بينهما، ويُحسب بالعلاقة $\tau = F r \sin \theta$. عندما تتزن الأجسام دورياً، تكون محصلة العزوم المؤثرة عليها تساوي صفراً، بحيث يتساوى العزم المحرك في اتجاه عقارب الساعة مع العزم في الاتجاه المعاكس. مثال ذلك استخدام مفتاح شد طويل لتدوير صامولة بعزم أكبر وبأقل قوة ممكنة عبر إثرائها بمسافة أبعد عن محور الدوران.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على فهم كيفية تسبب القوى في دوران الأجسام وتغيير سرعتها الزاوية. العزم هو مقياس لمقدرة القوة على إحداث الدوران، ويتأثر بمقدار القوة وبُعد نقطة تأثيرها عن محور الدوران وبالزاوية التي تؤثر بها.

الشرح

لكي تدير جسماً حول محور، فإنك تحتاج إلى تسليط قوة. انظر إلى مقبض الباب: فهو يقع في أبعد نقطة عن المفصلات لضمان أكبر أثر بأقل قوة، لأن القوة تكون بعيدة عن محور الدوران ومصنعة لزاوية قائمة.

ذراع القوة $L$ هو المسافة العمودية من محور الدوران حتى نقطة تأثير القوة. إذا كانت القوة متعامدة مع محور الدوران، فإن ذراع القوة يساوي المسافة $r$ بين المحور ونقطة التأثير. أما إذا لم تكن متعامدة، فإننا نأخذ المركبة العمودية للقوة، ونحسب ذراع القوة بالمعادلة: $L = r \sin \theta$ حيث $r$ هو المسافة بين محور الدوران ونقطة التأثير، و$\theta$ هي الزاوية المحصورة بين القوة وممتد القطر.

العزم $\tau$ يقيس قدرة القوة على إحداث الدوران، ويساوي حاصل ضرب القوة في طول ذراعها، ويُعبر عنه بالمعادلة: $\tau = F r \sin \theta$ ويُقاس بوحدة نيوتن في متر ($N \cdot m$).

عندما يتزن جسم دورياً ولا يدور، فهذا يعني أن محصلة العزوم المؤثرة عليه تساوي صفراً، أي أن مجموع العزوم التي تحاول تدويره في اتجاه عقارب الساعة يساوي مجموع العزوم في عكس الاتجاه: $\tau_1 + \tau_2 = 0$ أو $F_{g1} r_1 - F_{g2} r_2 = 0$

مثال محلول خطوة بخطوة

ذراع القوة يتطلب شد صامولة في محرك سيارة عزماً مقداره $35 \, \text{N}\cdot\text{m}$. إذا استخدمت مفتاح شد طوله $25 \, \text{cm}$, فأثرت في نهاية المفتاح بقوة تميل بزاوية $60.0^\circ$ بالنسبة إلى الرأسي، فما طول ذراع القوة؟ وما مقدار القوة التي يجب أن تؤثر بها؟

1. تحليل المسألة ورسمها: المعلوم: $\tau = 35 \, \text{N}\cdot\text{m}$, $r = 0.25 \, \text{m}$, $\theta = 60.0^\circ$. المجهول: $L = ?$, $F = ?$

2. إيجاد الكمية المجهولة: نحسب طول ذراع القوة أولاً باستخدام العلاقة: $L = r \sin \theta$ $L = (0.25 \, \text{m})(\sin 60.0^\circ) = 0.22 \, \text{m}$

الآن نحسب مقدار القوة من قانون العزم $\tau = F L$ أو $\tau = F r \sin \theta$: $F = \frac{\tau}{r \sin \theta}$ $F = \frac{35 \, \text{N}\cdot\text{m}}{(0.25 \, \text{m})(\sin 60^\circ)} = 1.6 \times 10^2 \, \text{N}$

3. تقویم الجواب: الوحدات صحيحة وتقاس القوة بوحدة النيوتن، وتم حساب مقدار القوة اللازمة لتدوير المفتاح في اتجاه حركة عقارب الساعة.

أخطاء شائعة

• الخلط بين المسافة $r$ وبين ذراع القوة $L$ عندما تكون القوة مائلة وليست متعامدة.
• نسيان ضرب القوة في جيب الزاوية ($\sin \theta$) في حال لم تكن القوة تصنع زاوية قائمة مع محور الدوران.
• إهمال إشارات اتجاه العزم عند حساب محصلة العزوم (عزم مع عقارب الساعة وعزم عكس عقارب الساعة متعاكسان في الإشارة).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا تطلب تدوير جسم عزمًا مقداره $55.0 \, \text{N}\cdot\text{m}$, في حين كانت أكبر قوة يمكن التأثير بها $135 \, \text{N}$, فما طول ذراع القوة الذي يجب استخدامه؟ الإجابة: طول ذراع القوة يحسب بقسمة العزم على القوة العظمى المتعامدة، أي $L = \frac{\tau}{F} = \frac{55.0}{135} = 0.407 \, \text{m}$.

السؤال الثاني: يجلس علي على بعد $1.8 \, \text{m}$ من مركز الأرجوحة، فعلى أي بعد من مركز الأرجوحة يجب أن يجلس عبدالله حتى يتزن؟ علمًا بأن كتلة علي $43 \, \text{kg}$ وكتلة عبدالله $52 \, \text{kg}$. الإجابة: من شرط الاتزان الدوري (تساوي العزمين)، يكون عزم علي مساويًا لعزم عبدالله ($F_{g1} r_1 = F_{g2} r_2$). نحسب وزن كل منهما بضربه في تسارع الجاذبية، ثم نجد مسافة عبدالله بمعادلة الاتزان لتصبح تقريبًا $1.5 \, \text{m}$.