الاتزان (١)

يقوم درس الاتزان على فهم كيف تظل الأجسام مستقرة ومتحققة الشروط ميكانيكياً. يعتمد ذلك على مركز الكتلة، وهو النقطة التي تتحرك كأن الكتلة متركزة فيها، بحيث يمر محور الدوران خلالها. لكي يكون الجسم في حالة اتزان ميكانيكي، يجب أن يتحقق شرطان رئيسيان: الأول هو الاتزان الانتقالي، ويعني أن محصلة القوى المؤثرة تساوي صفراً $\Sigma F = 0$ بحيث لا يتسارع الجسم خطياً، والثاني هو الاتزان الدوراني، ويعني أن محصلة العزوم المؤثرة تساوي صفراً $\Sigma \tau = 0$ بحيث لا يدور الجسم بتسارع زاوي. كمثال، عندما يوضع سلم خشبي أفقياً على حاملين، فإن وزن السلم لأسفل يعادله قوتان لأعلى من الحاملين، وتتوزع العزوم حول محور الدوران لتبقى المحصلة صفراً، فيستقر السلم تماماً دون أن يتحرك أو ينقلب.

الفكرة الأساسية

يدور الجسم حول مركز كتلته، وهو النقطة التي يمكن افتراض تركز كتلة الجسم فيها. لكي يبقى الجسم في حالة استقرار تام ولا ينقلب أو يتحرك بعشوائية، يجب أن يبقى مركز كتلته فوق قاعدته الداعمة. إذا خرج مركز الكتلة عن حدود القاعدة، يتولد عزم خارجي يدفع الجسم للانقلاب.

الشرح

لكي يكون الجسم في حالة اتزان ميكانيكي تام، يجب أن يتوافر فيه شرطان أساسيان: الأول: الاتزان الانتقالي، ويعني أن محصلة القوى المؤثرة في الجسم تساوي صفراً، ويُכתب بالصيغة $\Sigma F = 0$. هذا يعني أن القوى التي تؤثر لأعلى تساوي القوى التي تؤثر لأسفل أو في الاتجاهات الأفقية. الثاني: الاتزان الدوراني، ويعني أن محصلة العزوم المؤثرة في الجسم تساوي صفراً، ويُכתب بالصيغة $\Sigma \tau = 0$. العزم $\tau$ هو مقياس قدرة القوة على إحداث دوران، ويحسب بضرب القوة في ذراعها ($r$). لكي يتزن الجسم دورانياً، يجب أن يتساوى عزم دوران عقارب الساعة مع عزم عكس اتجاه عقارب الساعة.

مثال محلول خطوة بخطوة

خذ مثال سلم خشبي كتلته $m = 5.8 \text{ kg}$ وطوله $\ell = 1.80 \text{ m}$، يستقر أفقياً على حاملين داعمين $A$ و $B$. يبعد الحامل $A$ مسافة $\ell_A = 0.60 \text{ m}$ عن طرف السلم، ويبعد الحامل $B$ مسافة $\ell_B = 0.15 \text{ m}$ عن الطرف الآخر. ما مقدار القوة التي يؤثر بها كل من الحاملين في السلم؟

1. تحليل المسألة ورسمها: نحدد محور دوران عند نقطة تؤثر فيها إحدى القوات المجهولة لتقليل المجاييل وليصبح عزمها صفراً، وليكن عند الحامل $A$.
2. تطبيق شرط الاتزان الانتقالي: محصلة القوى تساوي صفراً، إذن قوة الحامل الأول وقوة الحامل الثاني وقوة وزن السلم $F_g$ تحقق المعادلة: $0.0 \text{ N} = F_A + F_B - F_g$، حيث $F_g = mg$.
3. تطبيق شرط الاتزان الدوراني: محصلة العزوم تساوي صفراً، إذن عزم الحامل $B$ يساوي عزم وزن السلم: $r_B F_B = r_g F_g$.
4. التعويض بالحسابات: نحسب قوة الحامل $B$ بمعرفة أبعاد مركز الكتل ($r_g = 0.30 \text{ m}$ و $r_B = 1.05 \text{ m}$): $F_B = \frac{r_g m g}{r_B} = \frac{(0.30 \text{ m})(5.8 \text{ kg})(9.80 \text{ m/s}^2)}{1.05 \text{ m}} = 16 \text{ N}$. ثم نجد قوة الحامل $A$ من العلاقة: $F_A = m g (1 - \frac{r_g}{r_B}) = (5.8 \text{ kg})(9.80 \text{ m/s}^2)(1 - \frac{0.30 \text{ m}}{1.05 \text{ m}}) = 41 \text{ N}$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن الجسم المتزن لا تؤثر فيه أي قوى، والصواب أن القوى موجودة لكن محصلتها تساوي صفراً.
• إهمال إشارة العزم، حيث يُعتبر العزم موجباً إذا كان عكس اتجاه عقارب الساعة وسالباً إذا كان مع اتجاه عقارب الساعة.
• الخطأ في تحديد موقع ذراع القوة ($r$) وهو المسافة العمودية من محور الدوران حتى نقطة تأثير القوة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: يزن لوح خشبي كتلته $24 \text{ kg}$ وطوله $4.5 \text{ m}$ على حاملين، أحدهما تحت مركز اللوح مباشرة، والثاني عند الطرف. ما مقدار القوتين اللتين يؤثر بهما كل من الحاملين الرأسيين في اللوح؟ الإجابة: القوة الأولى تساوي وزن اللوح كاملًا لأن الحامل تحت مركز الكتلة، والقوة الثانية تساوي صفراً لأن ذراعها معدوم أو حسب حسابات العزوم. السؤال الثاني: ما الشرطان اللازمان لتحقيق الاتزان الميكانيكي لجسم ما؟ الإجابة: الشرط الأول هو أن تكون محصلة القوى المؤثرة تساوي صفراً $\Sigma F = 0$ للاتزان الانتقالي، والشرط الثاني هو أن تكون محصلة العزوم المؤثرة تساوي صفراً $\Sigma \tau = 0$ للاتزان الدوراني.