وصف الحركة الدورانية

يقوم درس وصف الحركة الدورانية على نقل مفاهيم الحركة الخطية إلى عالم الدوران من خلال ثلاث كميات أساسية: الإزاحة الزاوية ويرمز لها بالرمز $\theta$ وتقاس بالراديان، والسرعة الزاوية المتجهة ويرمز لها بالرمز $\omega$ وتساوي التغير في الإزاحة الزاوية مقسوماً على الزمن، والتسارع الزاوية ويرمز له بالرمز $\alpha$ ويساوي التغير في السرعة الزاوية المتجهة مقسوماً على الزمن. تربط العلاقات الخطية بالزاوية مع نصف القطر $r$ مثل العلاقة $v = r\omega$ بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية المتجهة. فلو دار قرص بسرعة زاوية متجهة مقدارها $2\text{ rad/s}$ وكان يبعد نصف قطر $3\text{ m}$، فإن السرعة الخطية لنقطة على حافته تكون $v = (3\text{ m})(2\text{ rad/s}) = 6\text{ m/s}$، وهي طريقة دقيقة لوصف كيف تدور الأجسام الصلبة حول محاورها دون الحاجة لتتبع كل جزئية بمفردها.

الفكرة الأساسية

ندرس اليوم كيف نكشف أسرار الأجسام الددارة حول محاورها. تماماً كما تصف حركة السيارة على خط مستقيم بالمسافة والسرعة والتسارع، سنصف حركة الأجسام الددارة عبر الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية المتجهة والتسارع الزاوي.

الشرح

تخيل قرصا يدور حول مركزه. عندما يتحرك أي جسم في مسار دائري، فإننا لا نقيس المسافة بالمتر فحسب، بل نقيس الزاوية التي يقطعها الجسم بالراديان.

• الإزاحة الزاوية $\theta$: هي التغير في الزاوية أثناء دوران الجسم، وتقاس بوحدة الراديان $\text{rad}$. الدورة الكاملة تساوي $2\pi\text{ rad}$. يكون اتجاه الإزاحة موجباً إذا كان الدوران في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة، وسالباً إذا كان مع اتجاه حركة عقارب الساعة.
• السرعة الزاوية المتجهة $\omega$: هي ناتج قسمة الإزاحة الزاوية على الزمن الذي يتطلبه حدوث الدوران، وتعطى بالعلاقة $\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$، وتقاس بوحدة $\text{rad/s}$.
• التسارع الزاوي $\alpha$: هو التغير في السرعة الزاوية المتجهة مقسوماً على الفترة الزمنية التي حدث خلالها التغير، ويعطى بالعلاقة $\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$، وتقاس بوحدة $\text{rad/s}^2$.

ترتبط هذه الكميات بالحركة الخطية عبر نصف القطر $r$ بالعلاقات الآتية:

• الإزاحة: $d = r\theta$
• السرعة المتجهة: $v = r\omega$
• التسارع: $a = r\alpha$

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا دار قرص صلب بسرعة زاوية متجهة مقدارها $7.27 \times 10^{-5}\text{ rad/s}$، وكان نصف قطر الأرض يعادل $6.38 \times 10^6\text{ m}$، فما مقدار السرعة الخطية لجسم على خط الاستواء؟

الخطوة الأولى: نكتب القانون الذي يربط السرعة الخطية بالسرعة الزاوية المتجهة ونصف القطر: $v = r\omega$

الخطوة الثانية: نعوض بالقيم المعطاة في المسألة: $r = 6.38 \times 10^6\text{ m}$ $\omega = 7.27 \times 10^{-5}\text{ rad/s}$

الخطوة الثالثة: نحسب الناتج النهائي: $v = (6.38 \times 10^6\text{ m}) (7.27 \times 10^{-5}\text{ rad/s}) = 464\text{ m/s}$

أخطاء شائعة

• الخطأ الأول: الاعتقاد بأن المسافة $d$ تقاس بوحدة $\text{m.rad}$ عند ضرب نصف القطر في الزاوية، والصواب أن الراديان ليس لها وحدة قياس فعلية في الناتج النهائي بل تبقى الأمتار $\text{m}$ فقط.
• الخطأ الثاني: الخلط بين اتجاه الدوران، حيث ينسى الطالب أن عكس عقارب الساعة يعني إزاحة وسرعة موجبتين، بينما مع عقارب الساعة يضعهما باشارة سالبة.
• الخطأ الثالث: استخدام وحدات غير متوافقة للزمن، كأن تجمع ساعات وثوان دون توحيدها إلى وحدة الثانية $\text{s}$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما الإزاحة الزاوية لعقاب ساعتيد خلال $1\text{ h}$ لـعقرب الدقائق؟ الإجابة: عقرب الدقائق يكمل دورة كاملة كل ساعة، إذن الإزاحة الزاوية هي $\theta = 2\pi\text{ rad}$.

السؤال الثاني: إذا كان التسارع الخطي لعبرة نقل يساوي $1.85\text{ m/s}^2$، والتسارع الزاوي لإطاراتها يساوي $5.23\text{ rad/s}^2$، فما قطر الإطر الواحد للعبرة؟ الإجابة: نستخدم العلاقة $a = r\alpha$ لإيجاد نصف القطر $r = \frac{a}{\alpha} = \frac{1.85}{5.23} = 0.354\text{ m}$. وبما أن القطر يساوي ضعف نصف القطر، إذن القطر يساوي $2 \times 0.354 = 0.708\text{ m}$.