استخدام قانون الجذب الكوني (٢)

يقوم هذا الدرس على دمج قانون الجذب الكوني مع قوانين الحركة الدائرية لحساب سرعة الأجسام التي تدور في مدارات مثل الأقمار الاصطناعية والكواكب، وكذلك حساب الزمن الدوري للمدار ومجال الجاذبية لأي جسم. يعتمد الشرح على استنتاج معادلة السرعة المدارية $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$ بربط قوة الجذب بقوة التسارع المركزي، وتطبيقها لحساب سرعات وسرعات دوران الأقمار. على سبيل المثال، إذا علمت كتلة الأرض وثابت الجذب الكوني ونصف قطر المدار، يمكنك حساب سرعة القمر الاصطناعي مباشرة دون تعقيد.

الفكرة الأساسية

نربط اليوم بين قوة الجذب الكوني وحركة الأجسام في مسارات دائرية. عندما يدور قمر اصطناعي حول الأرض، فإن قوة الجذب بين الأرض والقمر هي نفسها القوة المركزية التي تبقيه في مداره الدائري.

الشرح

انظر إلى معادلة السرعة لجسم يتحرك في مدار دائري: $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$. هنا $v$ هي سرعة القمر المدارية، و $G$ هو ثابِت الجذب الكوني، و $M_E$ كتلة الأرض، و $r$ هو البعد بين مركز الكوكب ومركز الجسم الدائر. لو أردنا حساب الزمن الدوري $T$ الذي يستغرقه القمر لإكمال دورة واحدة، فإننا نستخدم العلاقة: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_E}}$. تذكر أن الزمن الدوري يعتمد على نصف قطر المدار مكعباً. أما مجال الجاذبية $g$ لأي جسم فيُحسب بالعلاقة: $g = \frac{Gm}{r^2}$. وفيما يخص كتلة القصور وكتل الجاذبية، فهما مفهومان مختلفان رياضياً؛ كتلة القصور تُقاس بالعلاقة $m_{القصور} = \frac{F_{محصلة}}{a}$ بينما كتلة الجاذبية تُقاس بالعلاقة $m_{الجاذبية} = \frac{r^2 F_{الجاذبية}}{Gm}$، إلا أنهما متساويان في مقدار الكتلة حسب مبدأ التكافؤ.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد سرعة قمر اصطناعي يدور في مدار دائري على بعد يبعد مركزه $r = 7.0 \times 10^6 \text{ m}$ عن مركز الأرض، إذا علمت أن كتلة الأرض $M_E = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ وثابت الجذب الكوني $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

الخطوة الأولى: اكتب القانون المناسب للسرعة المدارية: $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$

الخطوة الثانية: عوض بالقيم المعطاة تحت الجذر: $v = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (5.97 \times 10^{24})}{7.0 \times 10^6}}$

الخطوة الثالثة: احسب الناتج داخل الجذر ثم خذ الجذر التربيعي: $v \approx 7550 \text{ m/s}$

أخطاء شائعة

• خلط المسافة $r$ بين مركزين بالمسافة فوق سطح الأرض مباشرة؛ يجب دائماً جمع نصف قطر الكوكب مع الارتفاع فوق السطح للحصول على $r$.
• إهمال التربيع أو الجذر في قوانين السرعة والزمن الدوري.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: احسب الزمن الدوري لقمر اصطناعي يدور حول الأرض على مسافة r = 7.0 \times 10^6 \text{ m}} إذا علمت أن $G = 6.67 \times 10^{-11}$ وكتلة الأرض $5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$. الإجابة: باستخدام العلاقة $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_E}}$ يكون الناتج تقريبا $5820 \text{ s}$.

السؤال الثاني: ما مقدار مجال الجاذبية الأرضية على بعد r = 7.0 \times 10^6 \text{ m}} من مركزها؟ الإجابة: باستخدام القانون $g = \frac{Gm}{r^2}$ نعوض بالكتلة والثابت والمسافة المربعة لنحصل على تقريباً $8.14 \text{ m/s}^2$.