استخدام قانون الجذب الكوني (١)

يقوم الدرس على ربط قانون الجذب الكوني بقوانين الحركة الدائرية لحساب سرعة الأقمار الاصطناعية وأزمنتها الدورية، وتفسير مجال الجاذبية والفرق بين كتلة القصور وكتلة الجاذبية. أهم ما فيه استنتاج معادلة السرعة المدارية $v = \sqrt{\frac{G m_E}{r}}$ والزمن الدوري $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G m_E}}$، إضافة إلى عرض نظرة أينشتاين للجاذبية باعتبارها انحناء في الفضاء الزمكان بسبب الكتلة. مثال سريع: إذا أردت حساب سرعة قمر اصطناعي، اجمع ارتفاعه على سطح الأرض إلى نصف قطر الأرض لتجد نصف القطر المداري $r$، ثم عوض في معادلة السرعة.

الفكرة الأساسية

تدور الكواكب والأقمار الاصطناعية في مدارات حول الأجسام المركزية نتيجة تساوي قوة الجذب الكوني مع قوة التسارع المركزي الناتجة عن الحركة الدائرية.

الشرح

تخيل أنك تطلق قذيفة أفقياً من مدفع، فكلما زادت سرعتها قطعت مسافة أطول قبل أن تسقط على الأرض. لو بلغت السرعة حداً مناسباً، فإن القذيفة تسير مسافة كاملة حول الأرض وتستمر في ذلك لتصنع مداراً دائرياً حولها، وهذا هو مبدأ عمل الأقمار الاصطناعية.

لتحساب سرعة القمر الاصطناعي، ندمج قانون التسارع المركزي $a_c = \frac{v^2}{r}$ مع قانون نيوتن في الجذب الكوني $F = G \frac{m m_E}{r^2}$، بحيث تكون القوة المحصلة هي قوة الجذب: $G \frac{m m_E}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$. بحذف كتلة القمر $m$ من الطرفين، نحصل على معادلة السرعة المدارية: $$v = \sqrt{\frac{G m_E}{r}}$$ حيث $G$ ثابت الجذب الكوني، و$m_E$ كتلة الأرض، و$r$ البعد بين مركز الجسم ومركز الأرض.

أما الزمن الدوري $T$، وهو الزمن الذي يستغرقه القمر لإكمال دورة كاملة، فيحسب من العلاقة: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G m_E}}$$

في المقابل، مجال الجاذبية $g$ هو محيط الجسم بكتلته مؤثراً بقوة في أي جسم آخر، ويحسب من المعادلة: g = \frac{G M}{r^2}$ وهناك نوعان للكتلة: كتلة القصور التي تقيس ممانعة الجسم لأي قوة مؤثرة بحسب العلاقة $m_{\text{القصور}} = \frac{F_{\text{محصلة}}}{a}$، وكتلة الجاذبية التي تحدد مقدار قوة الجذب بين جسمين ومقاسة بالميزان. وقد أعلن نيوتن أن كتلة القصور وكتلة الجاذبية متساويتان من حيث المقدار، وهو ما يسمى مبدأ التكافؤ. أما في نظرية أينشتاين للجاذبية، فالجاذبية ليست مجرد قوة عن بعد، بل هي تأثير من الفضاء نفسه؛ إذ تسبب الكتلة تغير الفضاء المحيط بها (الزمكان) فجعله منحنياً، وتتسارِع الأجسام الأخرى بسبب الطريقة التي تسير بها في هذا الفضاء المنحني، وهو ما يتنبأ بانحراف الضوء عند مروره بجانب كتل كبيرة مثل الشمس. ## مثال محلول خطوة بخطوة افترض أن قمر اصطناعي يدور حول الأرض على ارتفاع $h = 2.25 \times 10^5 \text{ m}$ فوق سطحها. فإذا علمت أن كتلة الأرض تساوي $m_E = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ ونصف قطر الأرض $r_E = 6.38 \times 10^6 \text{ m}$، فما مقدار سرعة القمر المدارية وزمنه الدوري؟ الخطوة الأولى: تحليل المسألة ورسمها وتحديد المعطيات والمجهول. المعطيات: $h = 2.25 \times 10^5 \text{ m}$، $m_E = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$، $r_E = 6.38 \times 10^6 \text{ m}$، $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. المجهول: $v = ?$، $T = ?$. الخطوة الثانية: إيجاد نصف القطر المداري $r$ بإضافة ارتفاع القمر إلى نصف قطر الأرض: $r = h + r_{E} = 2.25$ \times 10^5 \text{ m} + 6.38 \times 10^6 \text{ m} = 6.61 \times 10^6 \text{ m} الخطوة الثالثة: حساب السرعة المدارية $v$ بالتعويض في المعادلة: v = \sqrt{\frac{G $m_{E}$}{r}} = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2)(5.97 \times 10^{24} \text{ kg})}{6.61 \times 10^6 \text{ m}}} = 7.76 \times 10^3 \text{ m/s} الخطوة الرابعة: حساب الزمن الدوري $T$ بالتعويض في المعادلة: T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G $m_{E}$}} = 2\pi \sqrt{\frac{(6.61 \times 10^6 \text{ m})^3}{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2)(5.97 \times 10^{24} \text{ kg})}} = 5.35 \times 10^3 \text{ s}$$

أخطاء شائعة

• استخدام ارتفاع القمر $h$ مباشرة في قوانين السرعة والزمن بدلاً من حساب النصف قطر المداري الكلي $r$ عبر جمع $h + r_E$.
• نسيان تربيع مسافة البعد $r$ في المقام عند حساب مجال الجاذبية أو قوة الجذب.
• الخلط بين وحدات القياس، مثل ترك المسافات بالكيلومتر وعدم تحويلها إلى الأمتار قبل التعويض في القوانين.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا زاد نصف القطر المداري لقمر اصطناعي، فما الذي يحدث لسرعته المدارية بناءً على معادلة السرعة؟ الإجابة: تقل السرعة المدارية؛ لأن السرعة تتناسب عكسياً مع جذر نصف القطر المداري $r$ في المقام.

السؤال الثاني: ما المقصود بمبدأ التكافؤ في الفيزياء؟ الإجابة: هو إعلان نيوتن أن كتلة القصور وكتلة الجاذبية متساويتان من حيث المقدار، وهو مبدأ تدعمه كل التجارب وأساس في نظرية أينشتاين.