حركة الكواكب والجاذبية

يقوم الدرس على ربط حركة الكواكب بقوانين الجاذبية. أولاً، قوانين كبلر تصف مدارات الكواكب الإهليلجية، وسرعتها التي تزيد كلما اقتربت من الشمس، والعلاقة بين زمنها الدوري وبعدها عنها وفق المعادن $\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2$. ثانياً، قانون نيوتن للجذب الكوني يوضح أن أي جسمين يتجاذبان بقوة تتناسب طردياً مع حاصل ضرب كتلتيهما وعكسياً مع مربع المسافة بين مركزيهما عبر العلاقة $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$. أخيراً، تتيح تجربة كافندش قياس ثابت الجذب الكوني $G$ وحساب كتلة الأرض والكواكب. على سبيل المثال، إذا تضاعفت كتلة أحد الجسمين فإن قوة الجاذبية تتضاعف مرتين.

الفكرة الأساسية

تدور الكواكب حول الشمس في مدارات إهليلجية وليست دائرية تامة، وتحكم هذه الحركة قوانين كبلر الثلاثة التي تفسر سرعة الكواكب وزمنها الدوري. ولأن هذه الحركة تخضع للجاذبية، فقد وضع نيوتن قانون الجذب الكوني ليربط قوة التجاذب بين أي جسمين بكتلتيهما والمسافة بينهما، وهو ما يفسر حركة الكواكب والأقمار ويسهل حساب كتل الأجرام.

الشرح

ابدأ بقوانين كبلر. القانون الأول ينص على أن مدارات الكواكب إهليلجية وتكون الشمس في إحدى البؤرتين. القانون الثاني يوضح أن الخط الوهمي من الشمس إلى الكوكب يمسح مساحات متساوية في أزمـنة متساوية، مما يعني أن الكوكب يتحرك بسرعة أكبر عندما يكون قريباً من الشمس وبسرعة أبطأ عندما يكون بعيداً عنها. القانون الثالث يربط بين زمن دورين لكوكبيـن حول الشمس ومتوسط بعديهما بالعلاقة $\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2$.

ثم انتقل إلى قانون نيوتن للجذب الكوني الذي يعبر عن قوة التجاذب بين أي جسمين في الكون بالمعادلة $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$، حيث $F$ هي قوة الجاذبية، و$m_1$ و$m_2$ هما كتلتا الجسمين، و$r$ هي المسافة بين مركزيهما، و$G$ هو ثابت الجذب الكوني ويساوي $6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. تعني هذه المعادلة أن القوة تتناسب طردياً مع حاصل ضرب الكتلتين، وعكسياً مع مربع المسافة بين المركزين وفق قانون التربيع العكسي. وربطاً بين قانون نيوتن والقانون الثالث لكبلر، يمكن استنتاج معادلة الزمن الدوري لكوكب يدور حول الشمس وهي $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G m_s}}$، حيث $m_s$ هي كتلة الشمس.

أما تجربة كافندش التي استخدم فيها جهازا يحمل كرات رصاص معلقة بأسلاك رفيعة، فقد مكنت من قياس زاوية الالتواء وحساب قيمة الثابت $G$ بدقة، ومن ثم إيجاد كتلة الأرض عبر المعادلة $m_E = \frac{g r_E^2}{G}$ باستخدام تسارع الجاذبية $g$ ونصف قطر الأرض $r_E$.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كان لدينا قمران يدوران حول المشتري، وكان الزمن الدوري للقمر الأول $T_1 = 1.8 \text{ days}$ ونصف قطره المداري $r_1 = 4.2 \text{ units}$، وكان الزمن الدوري للقمر الرابع $T_c = 16.7 \text{ days}$، فاحسب بعد القمر الرابع عن المشتري $r_c$.

1. تحليل المسألة ورسمها: نكتب المعطيات $T_1 = 1.8 \text{ days}$، و$r_1 = 4.2 \text{ units}$، و$T_c = 16.7 \text{ days}$، والمجهول هو $r_c$.
2. إيجاد الكمية المجهولة: نستخدم القانون الثالث لكبلر $\left(\frac{r_c}{r_1}\right)^3 = \left(\frac{T_c}{T_1}\right)^2$. نعيد ترتيب المعادلة لإيجاد $r_c$ لتصبح $r_c = r_1 \sqrt[3]{\left(\frac{T_c}{T_1}\right)^2}$. بالتعويض بالأرقام: $r_c = \sqrt[3]{(4.2)^3 \left(\frac{16.7}{1.8}\right)^2} = \sqrt[3]{6.4 \times 10^3} = 19 \text{ units}$.
3. تقويم الجواب: الوحدات صحيحة بوحدات جاليليو مثل $r_1$، والنتيجة منطقية لأن الزمن الدوري أكبر بكثير.

أخطاء شائعة

• الخلط بين المسافة $r$ والزمن $T$ عند التعويض في القانون الثالث لكبلر أو نسيان تكعيب المسافات وتربيع الأزمان.
• اعتبار أن مدارات الكواكب دائرية تماماً بينما هي في الواقع إهليلجية.
• إهمال تربيع المسافة $r^2$ في مقام قانون الجذب الكوني لنيوتن.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: يدور كويكب حول الشمس في مدار متوسط نصف قطره يساوي ضعف نصف قطر مدار الأرض. احسب زمنه الدوري بالسنوات الأرضية. الإجابة: باستخدام القانون الثالث لكبلر مع جعل وحدات الأرض أساساً (حيث $r_E = 1$ و$T_E = 1$): $\left(\frac{r}{r_E}\right)^3 = \left(\frac{T}{T_E}\right)^2$، إذن $(2)^3 = T^2$، إذن $8 = T^2$، ومنه $T = \sqrt{8} = 2.83 \text{ years}$.

السؤال الثاني: ما مقدار قوة الجذب بين جسمين كتلة كل منهما $7.26 \text{ kg}$ والمسافة بين مركزيهما $0.30 \text{ m}$؟ الإجابة: نعوض في قانون الجذب الكوني $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ لنحصل على $F = \frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2)(7.26 \text{ kg})(7.26 \text{ kg})}{(0.30 \text{ m})^2} = 3.9 \times 10^{-8} \text{ N}$.