الحركة بتسارع ثابت

في الدرس الماضي، تعلمنا كيف نصف حركة الأجسام عندما تكون سرعتها ثابتة. لكن ماذا لو تغيرت السرعة؟ ماذا لو كنت تقود سيارة ودست البنزين، أو الفرامل؟ هنا نحتاج لمفهوم جديد: التسارع. التسارع يعني أن سرعتك تتغير، سواء بالزيادة أو النقصان، أو حتى بتغير الاتجاه. الفكرة هنا أن الجسم الذي يتحرك بتسارع ثابت، أي تتغير سرعته بمقدار ثابت كل ثانية، له معادلات تصف حركته. القانون الأساسي هنا يقول: السرعة النهائية تساوي السرعة الابتدائية مضافًا إليها حاصل ضرب التسارع في الزمن. يعني لو بدأت بسرعة ١٠ متر بالثانية، وتسارعك كان ٢ متر بالثانية مربعة، فبعد ثانية واحدة ستصبح سرعتك ١٢، وبعد ثانيتين ١٤. هذا هو ما يعنيه القانون: $v_{f} = v_{i} + at$. هنا $v_{f}$ هي السرعة النهائية التي وصلت إليها، وv_i هي السرعة التي بدأت بها، وa هو مقدار التسارع، وt هو الزمن الذي استغرقه هذا التغير.

بك، اليوم سندرس الحركة بتسارع ثابت.

الفكرة الأساسية

كيف نصف جسمًا يتحرك وتتغير سرعته؟ لو أنتَ تقود سيارة وتدوس على دواسة البنزين أو الفرامل، سرعتك تتغير. كيف نقيس هذا التغير؟ وماذا يعني أن التغير هذا ثابت؟

لنفترض أنك تقود سيارة. لو قطعت 100 متر في 20 ثانية، فهذا يعني أنك تقطع 5 أمتار كل ثانية — هذه سرعتك. ماذا لو غيرت سرعتك؟ لو كانت سرعتك تزيد بمقدار ثابت كل ثانية، نقول إن تسارعك ثابت. هذا يشبه أن تضغط على دواسة البنزين باستمرار، فتزيد سرعتك بنفس المقدار كل ثانية.

نحتاج هذه المفاهيم لكي نقدر نحدد السرعة المتجهة لجسم معين في أي لحظة، ونصف العلاقات الرياضية بين السرعة والتسارع والإزاحة والزمن، ونطبق اللي تعلمناه في حل مسائل رياضية تخص الحركة بتسارع ثابت.

المفاهيم والقوانين

السرعة المتجهة بدلالة التسارع المتوسط (Velocity with Average Acceleration): لو كانت عندك سرعة الجسم تتغير خلال فترة زمنية، لكي نحدد التسارع المتوسط (average acceleration) نستخدم العلاقة هذه: $a = \Delta v / \Delta t$. هنا $a$ هو التسارع المتوسط. $\Delta v$ هو التغير في السرعة المتجهة (السرعة النهائية ناقص السرعة الابتدائية). $\Delta t$ هو التغير في الزمن. ويمكن كتابة القانون بهذا الشكل أيضًا: $\Delta v = a \Delta t$. يعني، لو سرعتك زادت 10 أمتار كل ثانية، وتغيرت السرعة لمدة ثانيتين، فالتسارع هو 5 أمتار لكل ثانية تربيع.

لأن التغير في السرعة $\Delta v$ هو عبارة عن السرعة النهائية ناقص السرعة الابتدائية ($v_f - v_i$)، نقدر نكتب القانون بشكل آخر: $v_f - v_i = a \Delta t$. أو ننقل $v_i$ للطرف الثاني لكي تصير السرعة النهائية بدلالة السرعة الابتدائية والتسارع والزمن: $v_f = v_i + a \Delta t$. هذه المعادلة الأولى اللي نستخدمها لما يكون التسارع ثابت. تقول إن السرعة المتجهة النهائية تساوي السرعة المتجهة الابتدائية مضافًا إليها حاصل ضرب التسارع المتوسط في الفترة الزمنية.

ننتقل لـ الموقع بدلالة التسارع الثابت (Position with Constant Acceleration): لو عندي جسم يتحرك بسرعة ثابتة، يكون موقعه بيتغير بشكل منتظم. لكن لو السرعة تتغير، يعني فيه تسارع، فالموقع بيتغير بشكل غير منتظم. لو ننظر للشكل 2-3 اللي فيه منحنى الموقع-الزمن لسيارة، نشوف أن الإزاحات خلال فترات زمنية متساوية تزيد كلما زاد الزمن، وهذا يدل على أن السرعة تزيد، يعني فيه تسارع.

لكي نحسب الإزاحة اللي يقطعها الجسم لما يكون التسارع ثابت، ممكن نستخدم العلاقة التالية: $\Delta d = v_i \Delta t + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2$. هنا $\Delta d$ هي الإزاحة. $v_i$ هي السرعة الابتدائية. $a$ هو التسارع الثابت. $\Delta t$ هو الفترة الزمنية. هذه المعادلة مهمة جدًا لما يكون عندك تسارع ثابت وتحتاج تعرف الإزاحة.

السرعة المتجهة بدلالة التسارع الثابت (Velocity with Constant Acceleration): فيه معادلة ثالثة تربط السرعة النهائية بالابتدائية والتسارع والإزاحة، من غير ما نحتاج نعرف الزمن. وهي: $v_f^2 = v_i^2 + 2 a \Delta d$. هنا $v_f$ هي السرعة النهائية. $v_i$ هي السرعة الابتدائية. $a$ هو التسارع الثابت. $\Delta d$ هي الإزاحة.

هذه الثلاث معادلات هي الأدوات الأساسية اللي راح نستخدمها في مسائل الحركة بتسارع ثابت. تقدر تشوفها مجمعة في الجدول 3-3.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى مثال 3: إيجاد الإزاحة من منحنى (السرعة المتجهة – الزمن). عندنا رسم بياني يوضح حركة طائرة. السرعة المتجهة لها تزيد مع الزمن. المطلوب: أوجد إزاحة الطائرة خلال الفترة الزمنية $\Delta t = 1.0 \text{ s}$ ثم خلال الفترة الزمنية $\Delta t = 2.0 \text{ s}$. افترض أن السرعة الابتدائية ($v_i$) هي 75 m/s والتسارع ($a$) هو 2.0 m/s².

1. تحليل المسألة ورسمها: المسألة تقول إن الإزاحة تساوي المساحة تحت منحنى (السرعة المتجهة - الزمن). وعندنا نقطة بداية الزمن عند $0.0 \text{ s}$. المعلومات اللي عندنا: $v = +75 \text{ m/s}$ (هذه هي السرعة الابتدائية $v_i$) $a = +2.0 \text{ m/s}^2$ $\Delta t = 1.0 \text{ s}$ (الزمن للفترة الأولى) $\Delta t = 2.0 \text{ s}$ (الزمن للفترة الثانية) المجهول: $\Delta d = ?$ (الإزاحة في كل فترة)

2. إيجاد الكمية المجهولة: نستخدم المعادلة اللي تقول: $\Delta d = v_i \Delta t + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2$. لأجل الفترة الزمنية $1.0 \text{ s}$: نعوض الأرقام في المعادلة: $\Delta d = (75 \text{ m/s})(1.0 \text{ s}) + \frac{1}{2} (2.0 \text{ m/s}^2) (1.0 \text{ s})^2$ نحسبها: $\Delta d = 75 \text{ m} + 1 \text{ m} = 76 \text{ m}$. (هنا نتيجة الكتاب 75 m، فيه تقريب بسيط أو طريقة حساب مختلفة، لكن الأهم فهم الخطوات.)

لأجل الفترة الزمنية $2.0 \text{ s}$: نعوض الأرقام في المعادلة: $\Delta d = (75 \text{ m/s})(2.0 \text{ s}) + \frac{1}{2} (2.0 \text{ m/s}^2) (2.0 \text{ s})^2$ نحسبها: $\Delta d = 150 \text{ m} + 4 \text{ m} = 154 \text{ m}$. (هنا نتيجة الكتاب 150 m، نفس الملاحظة السابقة.)

3. تقويم الجواب:

• هل الوحدات صحيحة؟ الإزاحة تقاس بالمتر، والإجابات طلعت بالمتر. هذا صحيح.
• هل للإشارات معنى؟ السرعة المتجهة والتسارع موجبين، يعني الجسم يتحرك في اتجاه موجب وتزيد سرعته. والإزاحة طلعت موجبة، وهذا منطقي.
• هل الجواب منطقي؟ لو الطائرة قطعت مسافة تقريبًا بطول ملعب كرة قدم خلال ثانيتين، بالنسبة لسرعة الطائرة، فهذا يبدو منطقيًا.

الأخطاء الشائعة

1. خلط بين السرعة والتسارع: الطلاب أحيانًا يخلطون بين السرعة (كم سرعة الجسم؟) والتسارع (كم سرعة الجسم تتغير؟). لو سيارة سرعتها 60 كيلومتر في الساعة، لكنها لا تزيد ولا تنقص، فتسارعها صفر. لو سيارة سرعتها 30 كيلومتر في الساعة، وتزيد سرعتها كل ثانية، فالتسارع ليس صفرًا.
2. استخدام القانون الخطأ: عندنا 3 قوانين رئيسية للحركة بتسارع ثابت، وكل قانون يناسب حالة معينة. لازم نختار القانون الصح بناءً على المعطيات والمطلوب في السؤال.

• $v_f = v_i + a \Delta t$ (لو ما عندنا إزاحة أو ما نحتاجها).
• $\Delta d = v_i \Delta t + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2$ (لو ما عندنا سرعة نهائية أو ما نحتاجها).
• $v_f^2 = v_i^2 + 2 a \Delta d$ (لو ما عندنا زمن أو ما نحتاجه).

3. الأخطاء في الإشارات: الإشارات الموجبة والسالبة مهمة جدًا. لو التسارع في اتجاه معاكس للسرعة، فهذا يعني تباطؤ. لو التسارع والسرعة في نفس الاتجاه، يعني تزايد في السرعة. دائمًا لازم تحدد اتجاه موجب للحركة.
4. نسيان الوحدات: كل كمية فيزيائية لها وحدة. لازم نحط الوحدات صح لكي الإجابة تكون صحيحة ومنطقية. مثلاً السرعة بالمتر لكل ثانية (m/s)، والتسارع بالمتر لكل ثانية تربيع (m/s²).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: انطلقت سيارة من السكون بتسارع ثابت مقداره $3.5 \text{ m/s}^2$. ما المسافة التي قطعتها عندما تصل سرعتها إلى $25 \text{ m/s}$؟ أ. $89 \text{ m}$ ب. $71 \text{ m}$ ج. $179 \text{ m}$ د. $36 \text{ m}$

الحل: المعطيات: السرعة الابتدائية $v_i = 0.00 \text{ m/s}$ (لأنها بدأت من السكون). السرعة النهائية $v_f = 25 \text{ m/s}$. التسارع $a = 3.5 \text{ m/s}^2$. المطلوب: المسافة $\Delta d$.

نختار القانون المناسب اللي ما فيه زمن: $v_f^2 = v_i^2 + 2 a \Delta d$. نعوض بالقيم: $(25 \text{ m/s})^2 = (0.00 \text{ m/s})^2 + 2 (3.5 \text{ m/s}^2) \Delta d$ $625 \text{ m}^2/\text{s}^2 = 0 + 7.0 \text{ m/s}^2 \Delta d$ نقسم الطرفين على $7.0 \text{ m/s}^2$ لكي نطلع $\Delta d$: $\Delta d = 625 \text{ m}^2/\text{s}^2 / 7.0 \text{ m/s}^2$ $\Delta d \approx 89.28 \text{ m}$

الإجابة الأقرب هي أ. $89 \text{ m}$.

السؤال الثاني: يتحرك متزلج بسرعة منتظمة مقدارها $1.75 \text{ m/s}$. وعندما بدأ يصعد مستوى مائلاً تباطأت سرعته وفق تسارع ثابت $0.20 \text{ m/s}^2$. ما الزمن الذي استغرقه حتى توقف عند نهاية المستوى المائل؟ أ. $8.75 \text{ s}$ ب. $10.0 \text{ s}$ ج. $17.5 \text{ s}$ د. $3.5 \text{ s}$

الحل: المعطيات: السرعة الابتدائية $v_i = 1.75 \text{ m/s}$. السرعة النهائية $v_f = 0.00 \text{ m/s}$ (لأنه توقف). التسارع $a = -0.20 \text{ m/s}^2$ (الإشارة سالبة لأنه تباطؤ، أي أن التسارع في عكس اتجاه الحركة). المطلوب: الزمن $\Delta t$.

نختار القانون المناسب اللي ما فيه إزاحة: $v_f = v_i + a \Delta t$. نعوض بالقيم: $0.00 \text{ m/s} = 1.75 \text{ m/s} + (-0.20 \text{ m/s}^2) \Delta t$ ننقل $1.75 \text{ m/s}$ للطرف الثاني: $-1.75 \text{ m/s} = (-0.20 \text{ m/s}^2) \Delta t$ نقسم الطرفين على $(-0.20 \text{ m/s}^2)$ لكي نطلع $\Delta t$: $\Delta t = (-1.75 \text{ m/s}) / (-0.20 \text{ m/s}^2)$ $\Delta t = 8.75 \text{ s}$

الإجابة هي أ. $8.75 \text{ s}$.