السقوط الحر

تخيل أنك تركت قلمًا ليسقط من يدك. هل فكرت كيف يسقط؟ ليس مهمًا إن كان القلم ثقيلًا أو خفيفًا، سيصل للأرض بنفس الوقت إذا لم يكن هناك هواء. هذا ما نسميه "السقوط الحر"، وهو حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية الأرضية فقط، مع إهمال مقاومة الهواء.

الفكرة الأساسية هنا هي أن كل الأجسام تسقط بتسارع ثابت في الفراغ، وهو تسارع الجاذبية الأرضية، ونرمز له بالرمز "g". قيمته التقريبية 9.80 مترًا لكل ثانية تربيع. هذا يعني أن سرعة الجسم تزداد 9.80 مترًا كل ثانية.

أهم قانون يمكننا استخدامه لحساب سرعة جسم يسقط سقوطًا حرًا، بعد زمن معين، هو: $v_f = v_i + gt$ هنا، $v_f$ هي السرعة النهائية للجسم. $v_i$ هي السرعة الابتدائية، غالبًا تكون صفرًا إذا بدأ الجسم من السكون. $g$ هو تسارع الجاذبية الأرضية. $t$ هو الزمن الذي مضى.

لنأخذ مثالًا: لو أسقطت حجرًا من يدك (يعني سرعته الابتدائية صفر)، فكم ستكون سرعته بعد ثانية واحدة؟ $v_f = 0 + (9.80 \text{ m/s}^2) \times (1 \text{ s})$ $v_f = 9.80 \text{ m/s}$ وبعد ثانيتين؟ ستكون 19.60 مترًا في الثانية. وهكذا.

أمامنا اليوم درس مهم وممتع، وهو "السقوط الحر".

الفكرة الأساسية

لو رفعت قلمك وتركته يسقط، هو يسقط لحاله وبدون أي شيء يدفعه من فوق. هذه الحركة اسمها "سقوط حر". الفكرة الأساسية هي أن أي جسم يسقط، لكن مو أي سقوط حر. لما نقول "سقوط حر"، يعني الجسم هذا يسقط بفعل الجاذبية الأرضية بس، وما في أي شيء ثاني يأثر عليه، مثل الهوا اللي يوقفه شوي. يعني لو أخذنا ريشة وحجر وطيحناهم معاً في مكان ما فيه هواء، بيسقطون معاً بنفس السرعة ويصلون الأرض في نفس الوقت. هذا هو السقوط الحر.

لماذا نحتاجها؟ لأن معظم الأجسام اللي نشوفها حولنا تسقط تحت تأثير الجاذبية، ونبغى نفهم كيف تتحرك بالضبط لكي نقدر نتنبأ بحركتها، زي الصواريخ والأقمار الصناعية، وحتى لما نرمي كرة أو أي شيء.

المفاهيم والقوانين

عندنا هنا كم مفهوم وقانون لازم نفهمها:

1. السقوط الحر (Free Fall): هذا هو المفهوم الرئيسي. لما الجسم يسقط تحت تأثير الجاذبية الأرضية بس، يعني ما فيه مقاومة هواء ولا قوة دفع ثانية.

2. التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية (Acceleration Due To Gravity) (g): هذا رقم ثابت تقريباً. لما الجسم يسقط، سرعته تزيد باستمرار، وهذا الزيادة في السرعة نسميها تسارع. الجاذبية الأرضية تسحب الأجسام لأسفل، وتخليها تتسارع بمقدار ثابت تقريباً. هذا المقدار هو 9.80 متر لكل ثانية تربيع (m/s²). ونرمز له بالرمز (g).

• لو قلنا "التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية يساوي 9.80 m/s²"، يعني أن سرعة الجسم اللي يسقط تزيد بمقدار 9.80 متر في الثانية، كل ثانية تمر.
• واتجاه هذا التسارع دايماً يكون لأسفل، يعني نحو مركز الأرض.

3. معادلات الحركة في السقوط الحر: بما أن التسارع (g) ثابت، نقدر نستخدم نفس معادلات الحركة اللي درسناها قبل كذا، بس بنستبدل التسارع (a) بـ (g).

• القانون الأول: لو سرعة الجسم كانت 15 متر في الثانية، والتسارع 9.8 متر لكل ثانية تربيع، بعد ثانية واحدة بتصير سرعته 15 + 9.8، يعني 24.8 متر في الثانية.

• $v_{f} = v_{i} + g$ Δt

• $v_{f}$: السرعة النهائية للجسم بعد مرور فترة زمنية.

• $v_{i}$: السرعة الابتدائية للجسم اللي بدأ فيها حركته.

• g: التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية، وقيمته 9.80 m/s².

• Δt: الفترة الزمنية اللي مرت.

• القانون الثاني: لو الجسم بدأ من السكون ($v_{i} = 0$) ومكانه ($d_{i} = 0$)، وبعد 3 ثوانٍ، كم المسافة اللي قطعها؟ بتكون نصف التسارع مضروب في مربع الزمن.

• $d_{f} = d_{i} + v_{i}$ Δt + 1/2 g (Δt)²

• $d_{f}$: الموضع النهائي للجسم.

• $d_{i}$: الموضع الابتدائي للجسم.

• $v_{i}$: السرعة الابتدائية.

• g: تسارع الجاذبية.

• Δt: الفترة الزمنية.

• القانون الثالث (مو مذكور هنا صراحة في "المفاهيم والقوانين" لكنه ضمن معادلات الحركة):

• $v_{f}$² = $v_{i}$² + 2g ($d_{f}$ – $d_{i}$)

• هذا القانون يربط بين السرعة النهائية والابتدائية، والتسارع، والمسافة اللي قطعها الجسم، من غير ما نحتاج نعرف الزمن.

ملاحظة على الإشارة: بما أن التسارع الناتج عن الجاذبية (g) دايماً لأسفل، وإذا اخترنا الاتجاه لأسفل هو الموجب، فـ (g) تكون قيمته موجبة. وإذا اخترنا الاتجاه لأعلى هو الموجب، فـ (g) تكون قيمته سالبة (تعتبر تباطؤ إذا الجسم طالع لفوق). في الأمثلة اللي عندنا، غالباً نختار الاتجاه لأسفل هو الموجب.

انظر إلى "الشكل 14-3": يوضح كرة تسقط. في الصورة، المسافة بين الصور تزيد مع مرور الزمن. هذا يعني أن سرعة الكرة تزيد، ولهذا نقول إنها تتسارع. والتسارع هذا هو "g". والشكل 15-3: يوضح منحنيات السرعة-الزمن والإزاحة-الزمن لجسم يسقط سقوطاً حراً.

• "a": السرعة تتزايد خطياً مع الزمن، وهذا يعني أن التسارع ثابت.
• "c": الإزاحة تتزايد بشكل غير خطي مع الزمن، وهذا متوقع لجسم يتسارع.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى قسم "تحليل محتوى" في الصفحة.

المشكلة: "صعدت بالونًا علوًّا ثم ألقيت منه نافذة صماء. فإذا استغرق البالون ثانيتين ليسقط مسافة تساوي ارتفاع النافذة ومقدارها 7.0 مترًا. افترض أن البالون بدأ حركته من السكون. في الارتفاع الذي يسقط منه قبل أن يصل إلى الحاجة العليا للنافذة بدلالة كل من g و t وv وثوابت عددية؟"

الشرح للمثال: هنا عندنا بالون ألقينا منه نافذة صماء. يعني رمينا شي من البالون. المعلومات اللي عندنا:

• الزمن اللي استغرقه السقوط (Δt) = 2.0 ثانية.
• المسافة اللي قطعتها النافذة (d) = 7.0 متر.
• البالون بدأ حركته من السكون، يعني السرعة الابتدائية ($v_{i}$) = 0 م/ث.
• المطلوب هو الارتفاع اللي سقط منه الجسم قبل أن يصل إلى الحاجة العليا للنافذة، بدلالة g و t و v.

هنا نحتاج نركز على الجزء اللي فيه "استغرق البالون ثانيتين ليسقط مسافة تساوي ارتفاع النافذة ومقدارها 7.0 مترًا". هذا الجزء يتكلم عن زمن سقوط النافذة، وليس عن ارتفاع البالون نفسه. السؤال يطلب "الارتفاع الذي يسقط منه [الجسم] قبل أن يصل إلى الحاجة العليا للنافذة".

خلينا نفكر بالمعادلات اللي عندنا: تذكرنا معادلة الحركة: $d_{f} = d_{i} + v_{i}$ Δt + 1/2 g (Δt)² لو افترضنا أن نقطة البداية ($d_{i}$) = 0، وأن الجسم سقط من السكون ($v_{i}$) = 0، فإن المعادلة تصبح: $d_{f} = 1/2$ g (Δt)²

طيب، خلينا نطبق هذا على النافذة الصماء: النافذة قطعت مسافة 7.0 أمتار ($d_{f} = 7.0$ m) في زمن (Δt) = 2.0 ثانية. نعوض في المعادلة: 7.0 = 1/2 * g * (2.0)² 7.0 = 1/2 * g * 4.0 7.0 = 2.0 * g نقسم الطرفين على 2.0 لكي نطلع g: g = 7.0 / 2.0 = 3.5 m/s²

لكن انتبه، السؤال ما طلب نحسب g، السؤال طلب الارتفاع اللي سقط منه البالون بدلالة g و t و v. هذا المثال المحلول في الكتاب يركز على استنتاج قيمة g من خلال التجربة، وهذا هو الهدف الأساسي من الفقرة. ولكن الجزء الأخير من السؤال "في الارتفاع الذي يسقط منه قبل أن يصل إلى الحاجة العليا للنافذة بدلالة كل من g و t وv وثوابت عددية؟" هذا سؤال مختلف ويحتاج تحليل أعمق.

إذا كان السؤال يقصد ارتفاع السقوط الحر للجسم، فالجسم بدأ من السكون ($v_{i} = 0$). فنستخدم: $d_{f} = d_{i} + v_{i}$ Δt + 1/2 g (Δt)² بما أن ($d_{i} = 0$) و ($v_{i} = 0$): $d_{f} = 1/2$ g (Δt)²

لو كان السؤال يقصد الارتفاع الذي سقط منه البالون نفسه (وليس النافذة الصماء)، وبدأ من السكون، فإن ارتفاع السقوط هو 1/2 g (Δt)² حيث Δt هي فترة السقوط. البالون لم يسقط، بل ألقينا منه النافذة. فالنافذة الصماء هي التي سقطت. الارتفاع الذي سقطت منه النافذة هو d = 1/2 g t². هذا هو الارتفاع بدلالة g و t. أما الـ v فهي السرعة النهائية، ويمكن إيجادها من v = g t. فلو عوضنا t من معادلة السرعة (t = v/g) في معادلة المسافة: d = 1/2 g (v/g)² = 1/2 g (v²/g²) = 1/2 v²/g

الخلاصة للحل: الارتفاع الذي سقطت منه النافذة (d) يعطى بالعلاقة: d = 1/2 g t² (لو بدأت من السكون) ويمكن التعبير عن السرعة النهائية (v) بـ: v = g t (لو بدأت من السكون) فإذا أردنا الارتفاع بدلالة v و g، فيمكننا أن نعوض الزمن (t) من المعادلة الثانية في الأولى: t = v / g d = 1/2 g (v / g)² = 1/2 g (v² / g²) = v² / (2g) إذن الارتفاع بدلالة g و t هو 1/2 g t²، وبدلالة v و g هو v² / (2g).

المثال اللي في الكتاب يحسب g وليس الارتفاع بالرموز. انتبه لهذا الفرق. "مثال محلول خطوة بخطوة" يقصد أن نتبع خطوات الكتاب، والكتاب هنا يستخدم الأرقام ليستنتج قيمة g. إذا كان السؤال "الارتفاع الذي يسقط منه قبل أن يصل إلى الحاجة العليا للنافذة بدلالة كل من g و t وv وثوابت عددية؟" فالمقصود هو كيف نكتب قانون المسافة.

لو افترضنا أن d هي المسافة التي يسقطها الجسم، وt هو الزمن المستغرق، وv هي السرعة النهائية (في نهاية السقوط)، وv_i هي السرعة الابتدائية (التي ذكر أنها صفر)، وg هو تسارع الجاذبية. القوانين اللي تصف هذا السقوط هي:

1. $v_{f} = v_{i} + g$ Δt
2. $d_{f} = d_{i} + v_{i}$ Δt + 1/2 g (Δt)²
3. $v_{f}$² = $v_{i}$² + 2g ($d_{f} - d_{i}$)

إذا بدأ الجسم من السكون ($v_{i} = 0$) ومن موضع ابتدائي ($d_{i} = 0$)، فإن:

1. v = g Δt
2. d = 1/2 g (Δt)²
3. v² = 2g d

إذا هذه هي المعادلات التي تصف الارتفاع بدلالة الرموز المطلوبة.

الأخطاء الشائعة

1. عدم الانتباه لاتجاه التسارع (g): بعض الطلاب ينسون أن التسارع الناتج عن الجاذبية دائمًا لأسفل. فإذا اختاروا الاتجاه لأعلى هو الموجب، لازم تكون قيمة g سالبة (-9.80 m/s²). ولو اختاروا الاتجاه لأسفل هو الموجب، تكون g موجبة (+9.80 m/s²). هذا يؤثر على الإشارات في المعادلات.
2. الخلط بين السقوط الحر والسقوط العادي: السقوط الحر يعني إهمال مقاومة الهواء. في حياتنا اليومية، مقاومة الهواء تلعب دورًا كبيرًا، خصوصًا للأجسام الخفيفة أو ذات المساحة السطحية الكبيرة. فلا تتوقع أن الريشة تسقط مثل الحجر في الهواء.
3. افتراض أن السرعة الابتدائية دائمًا صفر: إذا قذف جسم لأسفل، تكون سرعته الابتدائية مو صفر. وإذا قذف جسم لأعلى، تكون له سرعة ابتدائية موجبة (لو اخترنا الأعلى موجبًا)، وتصبح سرعته صفر عند أقصى ارتفاع، ثم يبدأ بالسقوط الحر بسرعه ابتدائية صفر.
4. نسيان أن الزمن هو نفسه للذهاب والإياب في القذف للأعلى: إذا قذفنا جسمًا لأعلى وعاد لنفس مستوى القذف، فالزمن اللي استغرقه للصعود هو نفسه الزمن اللي استغرقه للنزول.
5. اعتقاد أن الأجسام الأثقل تسقط أسرع: هذا خطأ شائع، في السقوط الحر (بإهمال مقاومة الهواء)، كل الأجسام تسقط بنفس التسارع (g)، بغض النظر عن كتلتها.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول (مأخوذ من "تدريبات إضافية" رقم 41): أطلق عامل بناء قطعة من عمود بناية. a. ما سرعة قطعة العمود بعد 4.0 ثوانٍ؟ b. ما المسافة التي تقطعها القطعة خلال هذا الزمن؟ c. كيف تختلف إجابتك عن المسافة إذا قمت باختيار الاتجاه الذي يحدث فيه الانحناء المعاكس هو الاتجاه الموجب؟

الإجابة: أولاً، نفترض أن القطعة بدأت حركتها من السكون ($v_{i} = 0$) لأنها "أطلقت" ولم تُقذف. ونفترض أن الاتجاه الموجب لأسفل.

a. ما سرعة قطعة العمود بعد 4.0 ثوانٍ؟ نستخدم القانون: $v_{f} = v_{i} + g$ Δt بما أن $v_{i} = 0$: $v_{f} = 0$ + (9.80 m/s²) * (4.0 s) $v_{f} = 39.2$ m/s

b. ما المسافة التي تقطعها القطعة خلال هذا الزمن؟ نستخدم القانون: $d_{f} = d_{i} + v_{i}$ Δt + 1/2 g (Δt)² بما أن $d_{i} = 0$ و $v_{i} = 0$: $d_{f} = 0 + 0$ * (4.0 s) + 1/2 * (9.80 m/s²) * (4.0 s)² $d_{f} = 1/2$ * 9.80 * 16.0 $d_{f} = 4.90$ * 16.0 $d_{f} = 78.4$ m

c. كيف تختلف إجابتك عن المسافة إذا قمت باختيار الاتجاه الذي يحدث فيه الانحناء المعاكس هو الاتجاه الموجب؟ إذا اخترنا الاتجاه لأعلى هو الموجب، فإن تسارع الجاذبية (g) سيكون سالبًا: g = -9.80 m/s². أيضًا، المسافة التي تقطعها القطعة ستكون لأسفل، فستكون إشارتها سالبة. نستخدم نفس القانون: $d_{f} = 1/2$ g (Δt)² (مع $d_{i} = 0$ و $v_{i} = 0$) $d_{f} = 1/2$ * (-9.80 m/s²) * (4.0 s)² $d_{f} = 1/2$ * (-9.80) * 16.0 $d_{f}$ = -4.90 * 16.0 $d_{f}$ = -78.4 m الفرق هو في الإشارة فقط. المسافة الفيزيائية المقطوعة هي نفسها 78.4 متر، لكن الإشارة السالبة تدل على أن الإزاحة كانت في الاتجاه السالب (لأسفل) وفقًا لاختيارنا الجديد للاتجاه الموجب (لأعلى).

السؤال الثاني (مأخوذ من "تدريبات إضافية" رقم 43): قذفت كرة تنس رأسيًا إلى أعلى بسرعة ابتدائية 22.5 m/s. ومتى الإمساك بها عند عودتها إلى الارتفاع نفسه الذي قذفت منه؟ a. احسب الارتفاع الذي وصلت إليه الكرة. b. ما الزمن الذي استغرقته الكرة في الهواء؟

الإجابة: هنا الكرة قذفت لأعلى، يعني السرعة الابتدائية موجبة إذا اخترنا الاتجاه لأعلى هو الموجب. $v_{i}$ = +22.5 m/s تسارع الجاذبية سيكون سالبًا لأن اتجاهه لأسفل: g = -9.80 m/s²

a. احسب الارتفاع الذي وصلت إليه الكرة. عند أقصى ارتفاع، تتوقف الكرة للحظة، يعني سرعتها النهائية ($v_{f}$