التسارع (العجلة) — شرح درس الفيزياء ١

لنفهم ماذا يحدث عندما تتغير حركة الأجسام، لأن السرعة غالبًا لا تبقى ثابتة. أنت، مثلاً، عندما تبدأ المشي من السكون، ثم تسرع، ثم تبطئ لتتوقف، سرعتك تتغير. هذا التغير في السرعة هو ما نسميه التسارع.

تخيل سيارة كانت تتحرك بسرعة 10 أمتار كل ثانية، وبعد ثانيتين أصبحت سرعتها 20 مترًا كل ثانية. السرعة هنا زادت 10 أمتار كل ثانية خلال ثانيتين. هذا يعني أنها زادت 5 أمتار كل ثانية، في كل ثانية. هذه الـ 5 أمتار كل ثانية، في كل ثانية، هي التسارع.

إذن، ما هو القانون الذي يصف هذا؟ نقول إن التسارع (والذي نرمز له بالرمز (a)) يساوي التغير في السرعة ( $v_{f} - v_{i}$ ) مقسومًا على الزمن الذي حدث فيه هذا التغير (Δt). الـ $v_{f}$ هي السرعة النهائية، والـ $v_{i}$ هي السرعة الأولية. فلو السرعة النهائية كانت 20 m/s والأولية 10 m/s، والزمن ثانيتين، سيكون التسارع 20-10 مقسومًا على 2، والناتج 5 m/s². الوحدة m/s² تعني أن السرعة تتغير بمقدار معين من الأمتار لكل ثانية، في كل ثانية.

تتكلم الصفحات هذه عن الحركة، وبالتحديد، متى تتغير الحركة. لو قطعت 100 متر في 20 ثانية، فأنت تقطع 5 أمتار كل ثانية — هذه سرعتك. ولكن هل سرعتك هذه تغيرت خلال الـ 20 ثانية؟ هل زادت أو نقصت؟ هذا هو موضوعنا اليوم.

الفكرة الأساسية

الفكرة هنا هي أننا نحتاج طريقة لنصف حركة الأجسام، وخصوصًا لما تتغير سرعتها. لو كانت السيارة تمشي بسرعة ثابتة، الموضوع سهل. لكن في الغالب، السرعة تتغير: تزيد، أو تنقص، أو يتغير اتجاهها. وهذا التغير في السرعة، نسميه "التسارع".

مثلاً، لو أنت واقف عند إشارة المرور، سرعتك صفر. لما تصير الإشارة خضراء، تضغط بنزين وتزيد سرعتك. هنا، حدث تسارع موجب. ولو كنت ماشي على سرعة معينة وشفت إشارة حمراء، تضغط فرامل وتقل سرعتك. هنا، حدث تسارع سالب (أو تباطؤ). ولو كنت ماشي في دوار، سرعتك ممكن تكون ثابتة كرقم، لكن اتجاه حركتك يتغير باستمرار، وهذا أيضًا نوع من التسارع.

المفاهيم والقوانين

1. السرعة المتجهة (Velocity): نحن نعرف السرعة بأنها المسافة المقطوعة في زمن معين. السرعة المتجهة تفرق بأنها تعطينا مقدار السرعة واتجاهها. لو كانت السيارة تبعد مسافات متساوية في أزمنة متساوية، فهذا يعني أن سرعتها ثابتة. انظر إلى الشكل الذي يوضح حركة سيارة؛ السيارة تبعد مسافات متساوية في أزمنة متساوية، ولهذا نقول إن سرعتها ثابتة. أما لو كانت المسافات تتغير في الأزمنة نفسها، فهذا يعني السرعة تتغير.

2. التسارع (Acceleration): هذا هو بيت القصيد. التسارع هو المعدل الزمني لتغير السرعة المتجهة. يعني، كم تتغير السرعة كل ثانية. القانون هنا يقول: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ حرف $a$ يرمز للتسارع، وحدته متر لكل ثانية تربيع (م/ث²). $\Delta v$ (دلتا v) تعني التغير في السرعة المتجهة. التغير في أي كمية نحسبه بطرح القيمة الابتدائية من القيمة النهائية. يعني $\Delta v = v_f - v_i$ . حرف $v_f$ يرمز للسرعة النهائية. حرف $v_i$ يرمز للسرعة الابتدائية. $\Delta t$ (دلتا t) تعني الفترة الزمنية التي حدث فيها هذا التغير في السرعة. يعني $\Delta t = t_f - t_i$ . حرف $t_f$ يرمز للزمن النهائي. حرف $t_i$ يرمز للزمن الابتدائي.

لو كانت السرعة تزيد، يكون التسارع موجب. لو كانت السرعة تنقص، يكون التسارع سالب. هذا ما يسمى بـ "التسارع الموجب والتسارع السالب". انظر إلى الشكل في الصفحة 65 الذي يوضح الحالات الأربع: تسارع موجب (السرعة تزيد)، تسارع سالب (السرعة تقل)، سرعة ثابتة (لا يوجد تسارع).

3. منحنى السرعة المتجهة - الزمن ( $v-t$ graph): هذا رسم بياني يوضح العلاقة بين السرعة المتجهة والزمن. لو رسمنا السرعة على المحور الرأسي والزمن على المحور الأفقي، فميل الخط المستقيم في هذا المنحنى يعطينا التسارع. الميل (Slope) = التغير في المحور الرأسي / التغير في المحور الأفقي. يعني الميل = $\Delta v / \Delta t$ ، وهذا هو نفسه تعريف التسارع. فلو كان الخط صاعدًا، يعني السرعة تزيد، والميل موجب، فالتسارع موجب. ولو كان الخط نازلاً، يعني السرعة تقل، والميل سالب، فالتسارع سالب. ولو كان الخط أفقيًا (مستقيمًا)، يعني السرعة ثابتة، والميل صفر، فالتسارع صفر. المساحة تحت منحنى السرعة-الزمن تساوي الإزاحة التي قطعها الجسم.

4. التسارع المتوسط والتسارع اللحظي: التسارع المتوسط: هو التغير في السرعة المتجهة خلال فترة زمنية معينة. القانون اللي ذكرناه قبل شوي هو لحساب التسارع المتوسط. التسارع اللحظي: هو التسارع عند لحظة زمنية معينة. نقدر نجيبه من خلال رسم مماس لمنحنى (السرعة المتجهة – الزمن) عند النقطة اللي نبغى نحسب عندها التسارع، وميل هذا المماس هو التسارع اللحظي.

مثال محلول خطوة بخطوة

لننظر إلى المثال الموجود في الصفحة 63. المطلوب: إيجاد التسارع المتوسط من منحنى السرعة المتجهة - الزمن. انظر إلى المنحنى. السرعة بدأت من الصفر، وتزايدت بسرعة خلال الثواني الأولى، وبعدها بلغت حوالي 10.0 m/s. الخطوة 1: تحليل المسألة ورسمها. الرسم البياني يوضح حركة الجسم. الخطوة 2: إيجاد الكمية المجهولة. المطلوب هو $a$ (التسارع). نختار نقطتين من المنحنى لحساب الميل (وهو التسارع). لو أخذنا النقطتين $t_i = 1.5 s$ و $t_f = 5.0 s$ . عند $t_i = 1.5 s$ كانت السرعة $v_i = 10.0 m/s$ . وعند $t_f = 5.0 s$ كانت السرعة $v_f = 10.0 m/s$ . نحسب $\Delta v = v_f - v_i = 10.0 - 10.0 = 0.0 m/s$ . ونحسب $\Delta t = t_f - t_i = 5.0 - 1.5 = 3.5 s$ . إذن، التسارع $a = \frac{0.0}{3.5} = 0.0 m/s^2$ . هذا يوضح أن التسارع يساوي صفر خلال هذه الفترة الزمنية؛ لأن السرعة ثابتة.

طيب، خلينا نختار نقطتين ثانيتين، من الجزء اللي تتغير فيه السرعة. مثلاً، من المنحنى، عند الزمن $t_i = 0.00 s$ كانت السرعة $v_i = 0.00 m/s$ . وعند الزمن $t_f = 3.00 s$ كانت السرعة $v_f = 10.0 m/s$ . نحسب $\Delta v = v_f - v_i = 10.0 - 0.0 = 10.0 m/s$ . ونحسب $\Delta t = t_f - t_i = 3.00 - 0.00 = 3.00 s$ . إذن، التسارع $a = \frac{10.0}{3.00} = 3.33 m/s^2$ .

الخطوة 3: تقويم الجواب. وحدات التسارع هي متر لكل ثانية تربيع (م/ث²). الإشارة الموجبة في هذه الحالة تعني أن التسارع في نفس اتجاه السرعة المتجهة، والسرعة تزيد.

مثال آخر من الصفحة 67: السؤال: تحركت حركة صاعدة مستوى مائلاً بسرعة ابتدائية 2.50 m/s وتباطأت لـ 0.00 m/s ثم توقفت. والزمن المستغرق 5.00 s. أوجد التسارع. المطلوب: التسارع ( $a$ ). المعطيات: السرعة الابتدائية $v_i = 2.50 m/s$ . السرعة النهائية $v_f = 0.00 m/s$ . الزمن الابتدائي $t_i = 0.00 s$ . الزمن النهائي $t_f = 5.00 s$ .

الحل: أولاً، نحسب التغير في السرعة: $\Delta v = v_f - v_i = 0.00 - 2.50 = -2.50 m/s$ . ثانياً، نحسب الفترة الزمنية: $\Delta t = t_f - t_i = 5.00 - 0.00 = 5.00 s$ . ثالثاً، نحسب التسارع: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-2.50 m/s}{5.00 s} = -0.500 m/s^2$ .

تقويم الجواب: الوحدات صحيحة: m/s². الناتج سالب، وهذا يعني أن التسارع في عكس اتجاه السرعة المتجهة، والكرة تتباطأ. وهذا يتفق مع المعطيات.

الأخطاء الشائعة

خلط السرعة المتجهة مع التسارع: السرعة المتجهة هي كمية حركة الجسم واتجاهها، أما التسارع فهو تغير هذه السرعة. ممكن الجسم يكون له سرعة عالية ولكن تسارعه صفر (إذا كانت سرعته ثابتة). وممكن يكون له تسارع كبير وسرعته صفر (لحظة بدء الحركة مثلاً).
عدم الانتباه لاتجاه التسارع: التسارع كمية متجهة، يعني له مقدار واتجاه. الإشارة السالبة في التسارع تعني أن اتجاه التسارع عكس اتجاه الحركة، وليس بالضرورة أن الجسم يتباطأ دائمًا. لو الجسم يتحرك في الاتجاه السالب (يعني السرعة سالبة) والتسارع سالب أيضًا، فهذا يعني أن السرعة السالبة تزداد، أي أن الجسم يتسارع في الاتجاه السالب.
الخلط بين التسارع والتباطؤ: ليس كل تسارع سالب يعني تباطؤ. "تباطؤ" يعني أن سرعة الجسم تتناقص. لو كانت السرعة موجبة والتسارع سالب، فهذا تباطؤ. ولكن لو كانت السرعة سالبة (الجسم يتحرك للخلف مثلاً) والتسارع سالب، فهذا يعني أن الجسم يتسارع في الاتجاه السالب، أي أن سرعته تزداد في الاتجاه السالب.
عدم استخدام الوحدات الصحيحة: يجب دائمًا كتابة الوحدات الصحيحة لكل كمية فيزيائية، خاصةً عند حساب التسارع (م/ث²).
عدم تحديد نقطتي البداية والنهاية بوضوح عند حساب التسارع المتوسط: يجب أن نختار زمنين وسرعتين متناظرتين لحساب $\Delta v$ و $\Delta t$ .

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول (مأخوذ من الصفحة 64، رقم 10): 10. تسير حافلة بسرعة 25 m/s. ضغط السائق على الفرامل لتوقفت بعد 3.0 s. a. ما التسارع المتوسط للحافلة في أثناء الضغط على الفرامل؟ b. كيف يتغير التسارع المتوسط للحافلة إذا استغرقت ضعف الفترة الزمنية السابقة للتوقف؟

الإجابات:

a. ما التسارع المتوسط للحافلة في أثناء الضغط على الفرامل؟

السرعة الابتدائية ( $v_i$ ) = 25 m/s
السرعة النهائية ( $v_f$ ) = 0 m/s (توقفت الحافلة)
الفترة الزمنية ( $\Delta t$ ) = 3.0 s

نحسب التغير في السرعة ( $\Delta v$ ): $\Delta v = v_f - v_i = 0 \text{ m/s} - 25 \text{ m/s} = -25 \text{ m/s}$

نحسب التسارع ( $a$ ): $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-25 \text{ m/s}}{3.0 \text{ s}} = -8.33 \text{ m/s}^2$ التسارع المتوسط للحافلة هو -8.33 م/ث². الإشارة السالبة تعني أن التسارع في عكس اتجاه الحركة، وأن الحافلة تتباطأ.

b. كيف يتغير التسارع المتوسط للحافلة إذا استغرقت ضعف الفترة الزمنية السابقة للتوقف؟

الفترة الزمنية الجديدة ( $\Delta t'$ ) = 2 * 3.0 s = 6.0 s
التغير في السرعة ( $\Delta v$ ) يبقى نفسه = -25 m/s (لأنها بدأت بنفس السرعة وتوقفت أيضًا)

نحسب التسارع الجديد ( $a'$ ): $a' = \frac{\Delta v}{\Delta t'} = \frac{-25 \text{ m/s}}{6.0 \text{ s}} = -4.17 \text{ m/s}^2$ التسارع المتوسط يصبح -4.17 م/ث². نلاحظ أن مقدار التسارع قل إلى النصف، وهذا منطقي: فلكي تتوقف الحافلة من نفس السرعة الأولية في ضعف الوقت، يجب أن يكون تباطؤها أبطأ (تسارعها أقل).

السؤال الثاني (مأخوذ من الصفحة 64، رقم 6): 6. سيارة سباق تزداد سرعتها من 4.0 m/s إلى 36 m/s خلال فترة زمنية مقدارها 4.0 s. أوجد تسارعها المتوسط.

الإجابة:

السرعة الابتدائية ( $v_i$ ) = 4.0 m/s
السرعة النهائية ( $v_f$ ) = 36 m/s
الفترة الزمنية ( $\Delta t$ ) = 4.0 s

نحسب التغير في السرعة ( $\Delta v$ ): $\Delta v = v_f - v_i = 36 \text{ m/s} - 4.0 \text{ m/s} = 32 \text{ m/s}$

نحسب التسارع ( $a$ ): $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{32 \text{ m/s}}{4.0 \text{ s}} = 8.0 \text{ m/s}^2$ التسارع المتوسط للسيارة هو 8.0 م/ث². الإشارة الموجبة تعني أن التسارع في نفس اتجاه الحركة، وأن سرعة السيارة تزداد.