السرعة المتجهة

كيف نصف حركة جسم؟ لو تحركت من مكان إلى مكان آخر، فإن معرفة نقطة البداية والنهاية ومقدار الوقت الذي استغرقته للحركة يعطينا فكرة عن سرعتك. لنفرض أن شخصًا قطع مسافة 100 متر في 20 ثانية، فهذا يعني أنه يقطع 5 أمتار كل ثانية، هذه سرعته المتجهة.

القانون الذي يصف هذا هو: السرعة المتجهة تساوي الإزاحة مقسومة على الزمن. السرعة المتجهة يرمز لها بـ v مع سهم فوقها، والإزاحة بـ d مع سهم، والزمن بـ t. v = d / t "d" هي المسافة التي قطعها الجسم، مع تحديد الاتجاه من نقطة البداية إلى النهاية. "t" هو الزمن الكلي الذي استغرقه الجسم لقطع هذه المسافة. فإذا انطلق جسم من نقطة ووصل إلى نقطة تبعد عنها 10 أمتار باتجاه الشرق خلال ثانيتين، فإن سرعته المتجهة هي 10 أمتار (الإزاحة) تقسيم 2 ثانية (الزمن)، أي 5 أمتار لكل ثانية باتجاه الشرق.

تخيل أنك تسوق سيارة وتقطع مسافة محددة في زمن محدد، ثم تسوق سيارة أخرى وتقطع نفس المسافة لكن في زمن مختلف. أنت الآن تحتاج لشيء يخبرك أيهما أسرع. هذا هو ما سنناقشه اليوم: كيف نصف حركة الأجسام باستخدام مفهوم السرعة المتجهة.

الفكرة الأساسية

لو قطعت ١٠٠ متر في ٢٠ ثانية، فأنت تقطع ٥ أمتار كل ثانية — هذه سرعتك. والقانون يقول هذا بالضبط. انظر إلى الشكل ٢-٢: السيارة تبعد مسافات متساوية في أزمنة متساوية، ولهذا نقول إن سرعتها ثابتة. السرعة المتجهة Velocity: هي معدل تغير الإزاحة. بمعنى آخر، كم تتغير إزاحة الجسم في فترة زمنية معينة. السرعة المتجهة المتوسطة Average velocity: لو الجسم تحرك من مكان إلى مكان آخر، فإن هذه السرعة تُحسب بقسمة الإزاحة الكلية على الزمن الكلي الذي استغرقه الجسم في هذه الحركة.

المفاهيم والقوانين

الرمز d يشير إلى الإزاحة، وهي المسافة التي قطعها الجسم في اتجاه معين. وحدتها هي المتر (m). الرمز t يشير إلى الزمن. وحدته هي الثانية (s). الرمز v يشير إلى السرعة المتجهة. وحدتها هي المتر لكل ثانية (m/s).

القانون الذي يربط هذه الكميات ببعضها هو: v = Δd / Δt (السرعة المتجهة = التغير في الإزاحة / التغير في الزمن) ماذا يعني Δd؟ يعني الإزاحة النهائية $d_{f}$ مطروحًا منها الإزاحة الابتدائية $d_{i}$. وماذا يعني Δt؟ يعني الزمن النهائي $t_{f}$ مطروحًا منه الزمن الابتدائي $t_{i}$.

إذن، القانون يصبح: v = ($d_{f} - d_{i}$) / ($t_{f} - t_{i}$) هذا القانون يستخدم لحساب السرعة المتجهة المتوسطة. فمثلاً، لو بدأت من موضع 2.0 متر ($d_{i}$) عند زمن 1.0 ثانية ($t_{i}$)، ووصلت إلى موضع 6.0 متر ($d_{f}$) عند زمن 3.0 ثوانٍ ($t_{f}$): Δd = 6.0 m - 2.0 m = 4.0 m Δt = 3.0 s - 1.0 s = 2.0 s v = 4.0 m / 2.0 s = 2.0 m/s هذا يعني أن الجسم تحرك بسرعة متجهة متوسطة مقدارها 2.0 متر كل ثانية.

انظر إلى المخطط البياني في الشكل ٢-٢b الذي يمثل حركة العداءين. الميل البياني للمنحنى (الموقع–الزمن) يعطينا السرعة المتجهة المتوسطة. الخط الأحمر يمثل حركة عداء أسرع من الخط الأزرق، لأن ميله (انحداره) أكبر. ميل الخط الأزرق هو (6.0 - 2.0) m / (3.0 - 1.0) s = 4.0 m / 2.0 s = 2.0 m/s ميل الخط الأحمر هو (3.0 - 2.0) m / (3.0 - 2.0) s = 1.0 m / 1.0 s = 1.0 m/s لاحظ أن الخط الأحمر في الشكل ٢-٢b في الواقع يمثل حركة أبطأ من الخط الأزرق، لأن ميله أقل (1.0 m/s) مقارنة بميل الخط الأزرق (2.0 m/s). هذا يعني أن الأرقام في الكتابة تحت الشكل تتبع المثال في النص وليس الألوان. في الشكل ٢-٢b: ميل الخط البياني للعداء الأزرق هو 2.0 m/s، وميل الخط البياني للعداء الرمادي (المفترض أنه الأحمر في الشرح) هو 1.0 m/s. هذا يعني أن العداء الأزرق أسرع.

السرعة المتجهة اللحظية Instantaneous velocity: هي السرعة المتجهة للجسم في لحظة زمنية معينة. لو أردت معرفة سرعة السيارة في لحظة معينة تمامًا، هذه هي السرعة اللحظية. لو كانت السرعة المتجهة ثابتة، فإن السرعة المتجهة اللحظية والسرعة المتجهة المتوسطة تكونان متساويتين.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى المثال في صفحة 46. بين الرسم البياني المجاور حركة طالب يركب لوح تزلج عبر ممر للمشاة. السؤال: ما سرعته المتجهة المتوسطة؟ وما سرعته المتجهة اللحظية؟ 1. تحليل المسألة ورسمها: المجهول هو السرعة المتجهة المتوسطة (v) والسرعة المتجهة اللحظية (v). لاحظ أن النظام الإحداثي للرسم البياني يوضح الزمن على المحور الأفقي والموقع على المحور الرأسي. 2. إيجاد الكمية المجهولة: نحتاج أولاً لإيجاد السرعة المتجهة المتوسطة. نختار نقطتين على الخط البياني. النقطة الأولى (الابتدائية) يمكن أن تكون $d_{i} = 6.0$ m عند $t_{i} = 3.5$ s. النقطة الثانية (النهائية) يمكن أن تكون $d_{f} = 12.0$ m عند $t_{f} = 7.0$ s.

نطبق القانون: v = ($d_{f} - d_{i}$) / ($t_{f} - t_{i}$) v = (12.0 m - 6.0 m) / (7.0 s - 3.5 s) v = 6.0 m / 3.5 s v = 1.7 m/s

الآن، ما السرعة المتجهة اللحظية؟ بما أن الخط البياني مستقيم، هذا يعني أن السرعة المتجهة ثابتة. إذا كانت السرعة المتجهة ثابتة، فإن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي السرعة المتجهة اللحظية. إذن، السرعة المتجهة اللحظية تساوي أيضًا 1.7 m/s في الاتجاه الموجب. 3. تقويم الجواب: هل الوحدات صحيحة؟ نعم، فالوحدة هي m/s وهي وحدة قياس كل من السرعة المتجهة والسرعة. هل للإشارات معنى؟ نعم، الإشارة الموجبة للسرعة المتجهة المتوسطة تتفق مع النظام الإحداثي. ولا يحدد اتجاه للسرعة المتجهة.

الأخطاء الشائعة

1. الخلط بين الإزاحة والمسافة: الإزاحة هي كمية متجهة (لها مقدار واتجاه)، والمسافة هي كمية قياسية (لها مقدار فقط). السرعة المتجهة تعتمد على الإزاحة، وليست المسافة. لو تحركت 5 أمتار للأمام ثم 5 أمتار للخلف، المسافة الكلية 10 أمتار، لكن الإزاحة صفر.
2. عدم الانتباه للإشارة: السرعة المتجهة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. الإشارة الموجبة تعني أن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (مثلاً: للأمام، للأعلى، لليمين). والإشارة السالبة تعني أنه يتحرك في الاتجاه السالب (مثلاً: للخلف، للأسفل، لليسار). انظر إلى الشكل 2-21: يمثل حركة جسم يندفع نحو الأسفل، ولذلك سرعته المتجهة -5.0 m/s.
3. عدم تحديد نقطة البداية والنهاية الصحيحة على الرسم البياني: عند حساب السرعة المتوسطة من الرسم البياني، تأكد من أنك تختار نقطتين بشكل صحيح وتقرأ الإحداثيات (الموقع والزمن) بدقة.
4. الاعتقاد بأن السرعة المتوسطة هي دائمًا متوسط السرعات اللحظية: هذا ليس صحيحًا إلا إذا كانت السرعة ثابتة. لو تغيرت السرعة خلال الحركة، فإن السرعة المتوسطة تحسب بقسمة الإزاحة الكلية على الزمن الكلي، وليس بجمع السرعات اللحظية وقسمتها على عددها.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: انظر إلى الشكل ٢-٢٢ في صفحة ٤٦. يمثل الرسم البياني حركة سفينة في البحر. ويعد الاتجاه الموجب للحركة هو اتجاه الجنوب. أ. ما السرعة المتجهة المتوسطة للسفينة؟ ب. ما السرعة المتجهة اللحظية للسفينة؟ ج. صف بالكلمات حركة السفينة في المسألة السابقة.

الإجابة على السؤال الأول: أ. السرعة المتجهة المتوسطة للسفينة: نختار نقطتين على الخط المستقيم. النقطة الأولى: الزمن ($t_{i}$) = 0 s، والموقع ($d_{i}$) = 3.0 m. النقطة الثانية: الزمن ($t_{f}$) = 3.0 s، والموقع ($d_{f}$) = -1.0 m. v = ($d_{f} - d_{i}$) / ($t_{f} - t_{i}$) v = (-1.0 m - 3.0 m) / (3.0 s - 0 s) v = -4.0 m / 3.0 s v = -1.33 m/s إذن، السرعة المتجهة المتوسطة للسفينة هي -1.33 m/s.

ب. السرعة المتجهة اللحظية للسفينة: بما أن الخط البياني مستقيم، فهذا يعني أن السرعة المتجهة ثابتة. إذن، السرعة المتجهة اللحظية تساوي السرعة المتجهة المتوسطة، وهي -1.33 m/s.

ج. وصف حركة السفينة: السفينة تتحرك بسرعة ثابتة مقدارها 1.33 m/s. بما أن السرعة سالبة، والاتجاه الموجب هو الجنوب، فإن السفينة تتحرك شمالاً (في الاتجاه السالب). تبدأ من موضع 3.0 أمتار شمال نقطة الأصل وتتجه شمالاً.

السؤال الثاني: انظر إلى الشكل ٢-٢٣ في صفحة ٤٦. يمثل الرسم البياني في الشكل حركة دراجة هوائية. احسب كلاً من السرعة المتجهة المتوسطة والسرعة المتجهة اللحظية للدراجة، ثم صف حركتها بالكلمات.

الإجابة على السؤال الثاني: أ. السرعة المتجهة المتوسطة للدراجة: نختار نقطتين على الخط المستقيم. النقطة الأولى: الزمن ($t_{i}$) = 0 min = 0 s، والموقع ($d_{i}$) = 20 m. النقطة الثانية: الزمن ($t_{f}$) = 30 min = 1800 s (لأن 30 دقيقة × 60 ثانية/دقيقة = 1800 ثانية)، والموقع ($d_{f}$) = 0 m. v = ($d_{f} - d_{i}$) / ($t_{f} - t_{i}$) v = (0 m - 20 m) / (1800 s - 0 s) v = -20 m / 1800 s v = -0.011 m/s (تقريبًا) إذن، السرعة المتجهة المتوسطة للدراجة هي -0.011 m/s.

ب. السرعة المتجهة اللحظية للدراجة: بما أن الخط البياني مستقيم، فهذا يعني أن السرعة المتجهة ثابتة. إذن، السرعة المتجهة اللحظية تساوي السرعة المتجهة المتوسطة، وهي -0.011 m/s.

ج. وصف حركة الدراجة: الدراجة تتحرك بسرعة ثابتة مقدارها 0.011 m/s. بما أن السرعة سالبة، فهي تتحرك في الاتجاه السالب (عكس الاتجاه الموجب المفترض). تبدأ من موضع 20 مترًا وتتجه نحو نقطة الأصل.