منحنى (الموقع – الزمن)

نريد أن نعرف كيف يتغير مكان جسم بمرور الوقت، مثلًا: إذا انطلق رياضي في سباق، أين سيكون بعد ثانية؟ وبعد ثانيتين؟ الدرس هنا يُعلّم كيف نرسم منحنىً يوضح هذا التغير، فنسميه منحنى الموقع-الزمن. فلو كنت في نقطة الصفر، وبعد ثانية أصبحت على بعد 5 أمتار، وبعد ثانيتين 10 أمتار، وهكذا، نستطيع رسم خط يربط هذه النقاط. هذا الخط سيخبرنا بسرعة الجسم. أهم قانون هنا ليس قانونًا رياضيًا مباشرًا، بل هو فكرة: الميل في منحنى الموقع-الزمن يساوي السرعة المتجهة. يعني: لو كان المنحنى صاعدًا بزاوية كبيرة، فالسرعة كبيرة. ولو كان صاعدًا بزاوية صغيرة، فالسرعة صغيرة. ولو كان أفقيًا، فالسرعة صفر. الميل نحسبه بقسمة التغير في الموقع (كم خطوة تحركت) على التغير في الزمن (كم ثانية استغرقت). مثلاً، لو تحركت 20 مترًا في 4 ثوانٍ، فموقعك يتغير بمقدار 20 مترًا، والزمن يتغير بمقدار 4 ثوانٍ. الميل سيكون 20 تقسيم 4 ويساوي 5 أمتار لكل ثانية. هذه هي سرعتك.

هذا الدرس بيتكلم عن "منحنى الموقع-الزمن". يعني كيف نرسم حركة جسم على ورقة بيانية، ونستفيد من الرسم هذا في معرفة معلومات عن حركة الجسم.

الفكرة الأساسية

لو تريد تعرف وين كان جسم في وقت معين، أو متى وصل لمكان معين، ممكن تتتبع حركته وتسجل مكانه مع كل ثانية تمر. هذه الطريقة ممكن تكون صعبة ومتعبة لو كانت المسافات طويلة أو الأزمنة كثيرة. فكر في السباقات، المتسابقين يمشون مسافات طويلة في أزمنة مختلفة، كيف ممكن نعرف مكان كل واحد منهم بالضبط في أي لحظة؟ أو كيف نعرف متى وصل متسابق معين لخط النهاية؟

بدل ما نقعد نسجل كل نقطة، ممكن نرسم "منحنى الموقع-الزمن". هذا المنحنى بيعطينا صورة كاملة وسهلة لحركة الجسم. لو رسمنا هذا المنحنى صح، نقدر نحدد موقع الجسم في أي لحظة، أو نعرف متى يوصل الجسم لمكان معين.

المفاهيم والقوانين

المنحنى اللي بنتكلم عنه اسمه "منحنى الموقع-الزمن". فيه محورين:

• المحور الأفقي: هذا للموقع (أو المسافة) [شكل ١-٢]. لا، انظر إلى الصورة: المحور الأفقي هو "الزمن (s)"، يعني الثواني.
• المحور الرأسي: هذا للموقع (أو المسافة) [شكل ١-٢]. لما يكون عندنا نقاط تمثل موقع الجسم عند أزمنة مختلفة، نرسمها على الرسم البياني، ثم نوصل بينها بخط مستقيم. هذا الخط هو "منحنى الموقع-الزمن".

انظر إلى الشكل: السيارة تبعد مسافات متساوية في أزمنة متساوية، ولهذا نقول إن سرعتها ثابتة. هذا المنحنى بيخلينا نعرف:

• موقع الجسم في لحظة معينة: لو عندك زمن معين، تروح للمحور الأفقي عند هذا الزمن، تطلع بخط مستقيم لين تتقاطع مع المنحنى، ثم تروح لليسار على المحور الرأسي، تشوف كم كان موقع الجسم في هذا الزمن.
• الزمن الذي استغرقه الجسم للوصول لموقع معين: لو عندك موقع معين، تروح للمحور الرأسي عند هذا الموقع، تمشي بخط أفقي لين تتقاطع مع المنحنى، ثم تنزل للأسفل على المحور الأفقي، تشوف كم كان الزمن اللي استغرقه الجسم للوصول لهذا الموقع.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى "مثال 1" في صفحة 39. يوضح الرسم البياني المجاور حركة عداء. السؤال الأول: متى يصل العداء إلى 30.0m من نقطة البداية؟ والسؤال الثاني: وأين يكون بعد 4.5s؟

تحليل المسألة ورسمها: هذا الرسم البياني جاهز. عندنا محور الزمن تحت والموقع على اليسار. الخط المائل هو اللي يمثل حركة العداء.

إيجاد الكمية المجهولة:

السؤال الأول: متى كان العداء على بعد 30.0m من نقطة البداية؟

1. نروح على المحور الرأسي (الموقع) عند 30.0m.
2. نرسم خط أفقي من 30.0m لين يتقاطع مع الخط المائل (منحنى العداء).
3. من نقطة التقاطع، ننزل بخط عمودي على المحور الأفقي (الزمن).
4. بنلاقي الخط العمودي نزل عند الزمن 6.0s. يعني العداء وصل لـ 30.0m بعد 6.0s.

السؤال الثاني: ما موقع العداء بعد 4.5s؟

1. نروح على المحور الأفقي (الزمن) عند 4.5s. هذي بين 4.0 و 5.0.
2. نرسم خط عمودي من 4.5s لين يتقاطع مع الخط المائل (منحنى العداء).
3. من نقطة التقاطع، نروح لليسار بخط أفقي على المحور الرأسي (الموقع).
4. بنلاقي الخط الأفقي وصل عند الموقع 22.5m تقريباً. يعني العداء كان على بعد 22.5m بعد 4.5s.

الأخطاء الشائعة

• الخلط بين المحاور: أحيانًا نستخدم المحور الأفقي للموقع والمحور الرأسي للزمن أو العكس. لازم نتأكد دائمًا إن المحور الأفقي هو الزمن، والمحور الرأسي هو الموقع.
• قراءة النقاط بشكل غير دقيق: لما نقرا قيمة بين رقمين على المحور، لازم نكون دقيقين ونقدر القيمة صح. مثلاً لو النقطة بين 4 و 5، هل هي أقرب لـ 4.5 ولا 4.2 ولا 4.8؟
• الربط الخاطئ بين النقطة والمنحنى: لما نبغى نطلع الموقع من الزمن، لازم نطلع من الزمن بخط عمودي للمنحنى، ثم من المنحنى بخط أفقي للموقع. والعكس صحيح. يعني لازم نمر على المنحنى.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

انظر إلى "الشكل 13-2" في صفحة 39. يوضح هذا الشكل حركة سيارة.

السؤال الأول: متى كانت السيارة على بعد 25.0m من نقطة الأصل؟ الإجابة:

1. نبحث عن 25.0m على المحور الرأسي (الموقع).
2. نرسم خط أفقي من 25.0m حتى يتقاطع مع منحنى السيارة.
3. من نقطة التقاطع، ننزل بخط عمودي على المحور الأفقي (الزمن).
4. الزمن المقابل هو 5.0s. الجواب: كانت السيارة على بعد 25.0m من نقطة الأصل بعد 5.0s.

السؤال الثاني: أين كانت السيارة عند 1.0s؟ الإجابة:

1. نبحث عن 1.0s على المحور الأفقي (الزمن).
2. نرسم خط عمودي من 1.0s حتى يتقاطع مع منحنى السيارة.
3. من نقطة التقاطع، نرسم خط أفقي على المحور الرأسي (الموقع).
4. الموقع المقابل هو 5.0m. الجواب: كانت السيارة على بعد 5.0m عند 1.0s.