المماس والسرعة المتجهة

يقوم هذا الدرس على إيجاد ميل المماس لمنحنى والسرعة المتجهة اللحظية باستخدام النهايات. الفكرة الأساسية تعتمد على تقريب المسافة بين نقطتين على المنحنى حتى تصبح المسافة صفرا باستخدام صيغة معدل التغير اللحظي. أهم ما في الدرس هو حساب ميل المنحنى عند نقطة معينة أو عند أي نقطة باستخدام الصيغة $m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$، وكذلك حساب السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك بتطبيق نفس مفهوم النهاية على دالة الموقع. مثال سريع: لإيجاد ميل منحنى $y = x^2$ عند النقطة $(1, 1)$، نعوض في صيغة النهاية لنحصل على الميل $m = 2$.

الفكرة الأساسية

الفكرة الأساسية تقوم على الانتقال من معدل التغير المتوسط الذي يقيس الميل بين نقطتين إلى معدل التغير اللحظي الذي يقيس ميل المماس عند نقطة واحدة بالذات. عندما نقرب النقطة الثانية لتلصق بالأولى، فإن القاطع يتحول إلى مماس، وهنا نستعين بالنهايات لنحسب الميل بدقة متناهية دون أن نحصل على قسمة على صفر.

الشرح

لكي نحسب ميل المماس للدالة $f(x)$ عند نقطة ما، نبدأ أولا بقانون ميل القاطع المار بالنقطتين $(x, f(x))$ و $(x + h, f(x + h))$. صيغة ميل القاطع هي $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ وتسمى صيغة الفرق. ولكي نحسب ميل المماس عند نقطة التماس وحدها، نجعل المسافة $h$ تؤول إلى الصفر، فنحصل على صيغة معدل التغير اللحظي: $m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ وهذا الميل نفسه يمثل السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك، حيث دالة الموقع $f(t)$ أو $s(t)$ تعطينا مكان الجسم عند أي زمن $t$، وسرعته اللحظية عند أي لحظة تعطى بالصيغة: $v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}$

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ميل مماس منحنى الدالة $y = x^2$ عند النقطة $(1, 1)$. الخطوة الأولى: نكتب صيغة معدل التغير اللحظي لميل المماس: $m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ الخطوة الثانية: نعوض بقيمة $x = 1$، إذن $f(1) = 1^2 = 1$ و $f(1 + h) = (1 + h)^2$: $m = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$ الخطوة الثالثة: نفك المقدار في البسط: $m = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}$ الخطوة الرابعة: نبسط ونحذف الواحد الموجب مع السالب: $m = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h}$ الخطوة الخامسة: نأخذ $h$ عامل مشترك من البسط: $m = \lim_{h \to 0} \frac{h(2 + h)}{h}$ الخطوة السادسة: نقسم على $h$: $m = \lim_{h \to 0} (2 + h)$ الخطوة السابعة: نعوض عن $h$ بصفر: $m = 2 + 0 = 2$ إذن ميل المماس عند النقطة $(1, 1)$ يساوي $2$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول هو نسيان توزيع الإشارة السالبة عند فك الأقواس في البسط في الدوال التي تحتوي على طرح مثل $f(t + h) - f(t)$. الخطأ الثاني هو التعويض المباشر بالقيمة $h = 0$ في الخطوة الأولى مما يؤدي إلى ظهور قيمة غير معينة مثل $\frac{0}{0}$ قبل تبسيط البسط واختصار $h$ مع المقام. الخطأ الثالث هو الخلط بين السرعة المتوسطة التي تحسب لفترة زمنية بين زمنين $a$ و $b$ وبين السرعة المتجهة اللحظية التي تحسب عند لحظة زمنية معينة باستخدام النهايات.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد ميل مماس المنحنى $y = x^2$ عند النقطة $(3, 9)$. الإجابة: الميل يساوي $6$. السؤال الثاني: أوجد معدل التغير اللحظي للدالة $f(x) = x^2$ عند أي نقطة عليها. الإجابة: الميل عند أي نقطة يساوي $2x$.