صفحة ١٥٦
انظر إلى قانون النهاية في منتصف الصفحة: — هذا هو تعريف المشتقة باستعمال النهايات. انظر إلى المثال ١: تريد إيجاد مشتقة الدالة عند أي نقطة. الخطوة الأولى هي كتابة القانون، ثم تعويض كل في الدالة بـ ليصبح لديك ، وتطرح منها الدالة الأصلية في البسط. بعد فك القوس وترتيب الحدود واختصار من البسط والمقام، تعوض عن كل بصفر لتصل إلى الناتج النهائي . لإيجاد قيمة المشتقة عند كما يطلب السؤال، عوض عن بـ ١ في الناتج الأخير ليصبح ويساوي ٣. في فقرتي تحقق من فهمك، اتبع نفس الخطوات تماماً: اكتب القانون، عوض، فك الأقواس واختصار ثم التعويض بالصفر.
صفحة ١٥٧
انظر إلى مفهوم أساسي لقاعدة مشتقة القوة: إذا كانت لديك دالة على صورة حيث عدد حقيقي، فمشتقته هي — يعني باختصار: أنزل الأس إلى الأمام واطرح من الأس القديم واحداً. انظر إلى المثال ٢ فقرة a: الدالة هي ، لكي تشتقها أنزل التسعة واضربها في المتغير واطرح من الأس واحداً فيصبح أي . في فقرة b، الدالة الجذرية يجب أولاً تحويلها إلى صورة أسية كسرية لتصبح ، ثم طبق قاعدة القوة بنزل الكسر وطرح واحد من الأس. في فقرة c، لديك كسر ، ارفعه إلى البسط بأس سالب ليصبح ، ثم اشتقه بنفس الطريقة لتجد أن الأس السالب يزيدك حرصاً عند طرح واحد، فالقاعدة تطبق دائماً بحذافيرها.
صفحة ١٥٨
انظر إلى المثال ٣ فقرة a: الدالة هي . لمفاضلتها، تشتق كل حد على حدة. حد مشتقته أن تضرب الثلاثة في الخمسة وتطرح من الأس واحداً فيصبح ، أما العدد الثابت 4 فمشتقته صفر لأنه لا يتغير بتغير . في فقرة b، الدالة حاصل ضرب حدين، فإما أن تفك الأقواس أولاً بخاصية التوزيع لتصبح ثم تشتق كل حد بقاعدة القوة، أو تطبق قاعدة الضرب لاحقاً. انظر إلى المثال 4 في أسفل الصفحة: إذا كانت مسافة جسم تُعطى بالدالة وتريد السرعة المتجهة اللحظية، فاعلم أن السرعة هي المشتقة الأولى للمسافة بالنسبة للزمن . اشتق كل حد: مشتقة هي ١٨، ومشتقة هي ، والثابت سالب واحد مشتقته صفر، ليصبح الناتج النهائي للسرعة هو .
صفحة ١٥٩
انظر إلى مفهوم «نظرية القيمة القصوى»: إذا كانت الدالة متصلة على فترة مغلقة ، فلها قيمة عظمى وقيمة صغرى على هذه الفترة، وتكون إما عند أطراف الفترة أو عند النقاط الحرجة. النقاط الحرجة هي التي يكون عندها مشتقة الدالة تساوي صفراً أو غير موجودة. انظر إلى مثال 5 في واقع الحياة: دالة ارتفاع لعبة الأفقوانية هي على الفترة . لإيجاد أقصى وأدنى ارتفاع، اشتق الدالة أولاً لتصبح . الآن أوجد النقاط الحرجة بجعل المشتقة تساوي صفراً، أي حل المعادلة بأخذ عامل مشترك لتجد أن قيم الحرجة هي صفر و8. بما أن الصفر لا يقع داخل الفترة المعطاة، فستحسب قيمة الدالة الأصلية عند أطراف الفترة وعند النقطة الحرجة فقط، أي تعوض بـ و و في الدالة الأصلية ، وأكبر ناتج هو القيمة العظمى وأصغر ناتج هو القيمة الصغرى.
صفحة ١٦٠
انظر إلى أعلى الصفحة: هل مشتقة حاصل ضرب دالتين تساوي حاصل ضرب مشتقتهما؟ التجربة تثبت العكس تماماً. انظر إلى «قاعدة مشتقة الضرب» في المفهوم الأساسي: إذا كان لديك دالة ودالة متصلتان وقابلتان للإشتقاق، فمشتقة حاصل ضربهما تساوي: «مشتقة الأولى ضرب الثانية كما هي مضافاً إليها الأولى كما هي ضرب مشتقة الثانية»، وكتبت رمزياً هكذا: . انظر إلى المثال 6 فقرة a: الدالة هي . لتطبيق القاعدة، فرضنا القوس الأول هو وأوجدنا مشتقته ، وفرضنا القوس الثاني هو وأوجدنا مشتقته . الآن طبق القاعدة بالحرف: اكتب مشتقة الأول واضربه في الثاني كاملاً، ثم اجمع عليه الأول كاملاً مضروباً في مشتقة الثاني. بعد ذلك، استخدم خاصية التوزيع لفك الأقواس ثم اجمع الحدود المتشابهة لتصل إلى الشكل النهائي.
صفحة ١٦١
انظر إلى أعلى الصفحة: تماماً مثل الضرب، مشتقة قسمة دالتين لا تساوي قسمة مشتقتهما. انظر إلى «قاعدة مشتقة القسمة» في المفهوم الأساسي: إذا كان لديك كسر مقامه دالة لا تساوي الصفر، فمشتقته تعطى بالصيغة الكسرية: «مشتقة البسط ضرب المقام ناقص البسط ضرب مشتقة المقام، الكل مقسوم على مربع المقام»، وكتبت بالرموز هكذا: . انظر إلى المثال 7 فقرة a: الدالة هي . البسط هو ومشتقته ، والمقام هو ومشتقته . طبق القاعدة بدقة في البسط: اضرب مشتقة البسط في المقام الأصلي، ثم اطرح منها البسط الأصلي مضروباً في مشتقة المقام. في المقام تحت، اكتب عبارة المقام كما هي واضعاً فوقها تربيعاً هكذا: . بعد ذلك، انشر الضرب في البسط واجمع الحدود المتشابهة لتصل إلى أبسط صورة.
صفحة ١٦٢
هذه الصفحة مخصصة للتدريب وحل التمارين على جميع القواعد التي درستها في هذا الدرس. في المجموعة الأولى من التمارين (من ١ إلى ٥)، المطلوب هو إيجاد مشتقة كل دالة عند نقاط معطاة، وذلك بتطبيق قواعد الاشتقاق المباشرة ثم التعويض بقيمة . في التمارين من ٦ إلى ١٤، استخدم قواعد القوة والثابت والمجموع للتدرب على إيجاد المشتقة الأولى للدوال المختلفة. في التمارين من ١٥ إلى ٢٠، يطلب منك إيجاد النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى المحلية للدوال على الفترات المغطاة، وتذكر أن ذلك يتم بإيجاد المشتقة ومساواتها بالصفر أولاً لتحديد قيم الحرجة، ثم اختبارها مع أطراف الفترة. في التمرين ٣٥، وهو مسألة لفظية عن العلاقة بين سعر القميص والمبيعات، عليك اشتقاق دالة الإيراد لمعرفة معدل التغير اللحظي بالنسبة لسعر القميص.
صفحة ١٦٣
هذه الصفحة تحتوي على مسائل تدريب تراكمية ومسائل مهارات تفكير عليا مرتبطة بما درسناه. في التمرين ٤٥، يطلب منك إيجاد مشتقة صيغة مساحة الدائرة بالنسبة لنصف القطر ، ثم حساب النهاية المرتبطة بها لتربط بين النهايات والمشتقات هندسياً. في التمرين ٤٦، انظر إلى سؤال «اكتشف الخطأ»، حيث قام طالبان بإيجاد مشتقة مربع دالة بطريقتين مختفيتين، وعليك فحص الحلول لمعرفة من منهما استخدم القواعد بشكل صحيح وبرر إجابتك رياضياً. في التمارين ٤٨ و٥٠، توجد براهين رياضية مهمة تطلب منك إثبات صحة قاعدتي الضرب والقسمة مستعيناً بتعريف المشتقة باستخدام النهايات عبر إضافة وطرح حد معين في البسط كما تشير الإرشادات. أما فقرات «تدريب على اختبار»، فتمثل أسئلة اختيار من متعدد تقيس فهمك السريع للقواعد الأساسية للاشتقاق.
