صفحة ١٣٧
انظر إلى مقدمة الدرس وعين القط الرمزية في الأعلى. يخبرنا السؤال الحياتي هنا عن اتساع البؤبو لعين حيوان بوحدة اللوكس عندما تقترب من القيمة صفر أو المالانهاية، وهنا نحتاج إلى حساب النهايات جبرياً. تحت ذلك، انظر إلى مفهوم نهايات الدوال الأساسية: نهاية الدالة الثابتة عند أي نقطة تساوي نفس القيمة الثابتة كـ ، مثل لو رسمت خطاً أفقياً عند القيمة . ونهاية الدالة المحايدة عند النقطة تساوي نفس القيمة أي . في أسفل الصفحة، تجد جدول خصائص النهايات الصحيحة: خاصية المجموع لجمع نهايتين، وخاصية الفرق، وخاصية الضرب في ثابت، وخاصية الضرب لدالتين، وخاصية القسمة بشرط أن المقام لا يساوي الصفر، وخاصية القوة، وخاصية الجذر النوني للدمج تحت الجذر بشرط أن تكون القيمة موجبة عندما يكون الدليل زوجياً.
صفحة ١٣٨
انظر إلى المثال الأول المخصص لاستعمال خصائص النهايات. في الفرع لحساب نهاية ، نوزع النهاية على كل حد باستخدام خاصية المجموع والفرق فتصبح . ثم نستخدم خاصية القوة للأس اثنين وخاصية الضرب في ثابت للعدد ستة، لنعوض بقيمة وهي أربعة فيكون الناتج هو سالب خمسة. في الفرع لديك دالة كسرية ، نوزع النهاية على البسط والمقام بخاصية القسمة، ثم نطبق خصائص الجمع والقوة والضرب في ثابت لنصل إلى الناتج النهائي وهو تقريبا أربعة وأربعة من عشرة. وفي الفرع مع الجذر النوني ، ندخل النهاية إلى داخل الجذر النوني لنحسب نهاية ما بداخل الجذر أولاً، فتجد أن الناتج هو جذر الخمسة. انظر إلى أسفل الصفحة وحاول حل مسائل تحقق من فهمك بنفس الخطوات تماماً.
صفحة ١٣٩
انظر إلى أعلى الصفحة حيث يوجد مفهوم أساسي لنهايات دالتين شهيرتين: نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية. دالة كثيرات الحدود ، يعني أنك تستطيع التعويض المباشر بالقيمة مباشرة داخل الدالة لأنها متصلة. أما الدالة النسبية على صورة بسط ومقام ، فنهايتها تساوي بشرط أساسي وهو ألا يساوي مقام الدالة النسبية صفراً عند النقطة التي تحسب عندها النهاية. انظر إلى المثال الثاني الفرع : حساب نهاية دالة كثير حدود ، هنا نعوض بالعدد سالب واحد مباشرة بدلاً من كل لنحصل على الناتج سالب سبعة. وفي الفرع : الدالة النسبية ، نعوض بالعدد ثلاثة في المقام لنجد أنه لا يساوي صفراً، فنقوم بالتعويض المباشر في البسط والمقام لنصل إلى الناتج سالب ثمانية. تابع باقي فروع المثال وتحقق من فهمك بالطريقة نفسها.
صفحة ١٤٠
انظر إلى أعلى الصفحة، عندما تعوض تعويضاً مباشراً في دالة نسبية وينتج لك صفر في البسط وصفر في المقام، فهذا يسمى صيغة غير محددة وتكتب على صورة ، وهذا يعني أنك لا تستطيع معرفة النهاية هكذا، ويجب عليك تبسيط العبارة جبرياً من خلال التحليل واختصار العوامل المشتركة. انظر إلى المثال الثالث الفرع : لحساب ، التعويض المباشر يعطينا . لذلك نقوم بتحليل البسط إلى ، ثم نختصر العامل المشترك من البسط والمقام، فتصبح النهاية لـ فقط، وعوض الآن بسالب أربعة ليكون الناتج سالب تسعة. انظر إلى الفرع لحساب نهاية دالة بدرجة ثالثة، حيث يتطلب تجميع الحدود وإخراج العامل المشترك الأكبر في المقام ثم اختصاره مع البسط لنصل إلى التعويض والناتج النهائي. طبق نفس الخطوات في أسفل الصفحة لحل تحقق من فهمك.
صفحة ١٤١
انظر إلى أعلى الصفحة لمتابعة طريقة أخرى لإيجاد النهايات عندما ينتج عن التعويض صيغة غير محددة، وهي إنطاق البسط أو المقام أولاً ثم اختصار العوامل المشتركة. انظر إلى المثال الرابع لحساب النهاية ، التعويض المباشر يعطيك أي صيغة غير محددة. لذا أنطق البسط بضرب البسط والمقام في المرافق وهو . بعد الضرب، يصبح البسط فرق مربعين يتبسط إلى ، فنختصر العامل المشترك من البسط مع المقام، لتصبح الدالة بعد الاختصار هي . الآن عوض عن بتسعة فيصبح الناتج . انظر في منتصف الصفحة لتحقق من فهمك وحل الفرعين و باتباع فكرة الضرب في المرافق. في أسفل الصفحة تجد فهماً أساسياً لنهايات دالة القوى عند المالانهاية، فـ لأي عدد صحيح موجب.
صفحة ١٤٢
انظر إلى أعلى الصفحة حيث تجد مفهوم أساسي لنهايات دوال كثيرات الحدود عند المالانهاية. لنهاية دالة كثيرة حدود عندما تقترب من المالانهاية، فإن نهايتها تساوي نهاية الحد ذي القوة الكبرى فقط وهو . انظر إلى المثال الخامس، الفرع : حساب ، هنا نأخذ الحد الأكبر وهو ، وعندما تقترب من المالانهاية يكون الناتج سالب مالانهاية لأن إشارة الحد الرئيسي سالبة بحسب خصائص الدالة. وفي الفرع : لحساب نهاية ، نأخذ الحد الرئيسي سالب ، وبما أن تذهب للمالانهاية وتربّع ثم تضرب بسالب، يصبح الناتج سالب مالانهاية. وفي الفرع : لحساب نهاية ، نأخذ الحد الرئيسي فيكون الناتج موجب مالانهاية. اتبع نفس القاعدة لحل أسئلة تحقق من فهمك في الأسفل.
صفحة ١٤٣
انظر إلى أعلى الصفحة لمتابعة نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية في المثال السادس. لحساب نهاية ، الخطوة الأساسية هي قسمة كل حد في البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير في المقام، وهي هنا . بعد القسمة، نوزع النهايات ونستخدم خواص الثوابت لنحصل على النهاية لكل جزء، حيث إن نهاية الثابت على دالة المالانهاية تساوي صفراً، فيتبقى في النهاية النسبة بين المعاملين الرئيسيين وهما الأربعة والثانية عشرة مخفضة لتساوي . انظر إلى الإرشادات على اليسار لتلخيص الحالات الثلاث لنهايات الدوال النسبية عند المالانهاية: إذا كانت درجة البسط أكبر من المقام فالنهاية مالانهاية أو سالب مالانهاية، وإذا تساوت الدرجتان فالنهاية هي معامل الحد الرئيسي في البسط مقسوماً على معامل الحد الرئيسي في المقام، وإذا كانت درجة البسط أقل فالدالة تؤول للصفر. طبق ذلك في تحقق من فهمك.
صفحة ١٤٤
انظر إلى عنوان الصفحة: نهايات المتتابعات في المثال السابع. المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية ومداها مجموعة الأعداد الحقيقية. لحساب نهاية متتابعة مثل ، نتبع نفس طريقة الدوال النسبية عند المالانهاية، فنقسم كل حد في البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير، وهي هنا . بعد القسمة على ، تصبح النهاية . وبما أن نهاية الثابت المقلوب عند المالانهاية تؤول إلى الصفر، تصبح النهاية مساوية للعدد ثلاثة مقسوماً على واحد أي ثلاثة. انظر إلى الفرع لحساب نهاية المتتابعة ، نوزع ونضرب الأقواس ثم نقسم على أعلى قوة وهي ، لنصل بعد التعويض إلى القيمة خمسة على أربعة أي واحد وربع. اتبع هذه الخطوات لحل أسئلة تحقق من فهمك في أسفل الصفحة.
صفحة ١٤٥
انظر إلى هذه الصفحة المليئة بتمارين تدرب وحل المسائل لدرس حساب النهايات جبرياً. في المجموعة الأولى، ستستخدم خصائص النهايات لحساب نهايات دوال مختلفة مثل الدوال النسبية وكثيرات الحدود والجذرية. تذكر دائماً التعويض المباشر أولاً، فإن ظهرت صيغة غير معينة مثل صفر على صفر، فلجأ إلى التحليل أو إنطاق البسط أو المقام باختيار العامل المشترك المناسب والاختصار. في المجموعة المرتبطة بالفيزياء، ستتعامل مع تطبيقات واقعية مثل حيوان الإسفنج وتأثير الامتصاص والتضخم، أو كتلة الجسم بحسب نظرية آينشتاين للنسبية، وكلها تتطلب حساب نهاية دالة عندما تؤول المتغيرات إلى قيم معينة أو إلى المالانهاية. وفي المسائل الأخيرة، ستتعامل مع نهايات متتابعات أو نهايات من جهتين باستخدام تعريف الدوال المتعددة القاعدة. اختر تمريناً وطبق عليه الخطوات الرياضية المدروسة بعناية.
صفحة ١٤٦
انظر إلى أعلى الصفحة لمتابعة حل النهايات مثل وغيرها من النهايات المثلثية والجذرية. في قسم المراجعة التراكمية، انظر إلى التمثيل البياني للدالة على اليسار للإجابة عن الأسئلة، مثل إيجاد قيم النهايات عند نقاط محددة كـ من خلال ملاحظة السلوك من اليمين واليسار واتجاه السهم على الرسم. في أسفل الصفحة، تجد مسائل فيزيائية عن الطاقة الحركية لجسيم متحرك بدلالة السرعة والكتلة ، حيث تحسب النهاية عندما يقترب الزمن من مئة ثانية. وفي قسم مسائل مهارات التفكير العليا، توجد أسئلة برهان وتحدٍ لإثبات خصائص النهايات لكثيرات الحدود والدوال النسبية، وتبرير صحة العلاقات الرياضية بناء على القوانين.
صفحة ١٤٧
انظر إلى عنوان استكشاف معمل الحاسبة البيانية: ميل المنحنى. الهدف هو استعمال الحاسبة البيانية لتقدير ميل المنحنى. يوضح لك الشرح أن المستقيم له معدل تغير ثابت ومفهوم واضح، أما المنحنيات فميلها يتغير عند كل نقطة لأنها ليست خطية. لكن بالرغم من ذلك، فإن تفحص المنحنيات على فترة قصيرة جداً يجعلها تبدو خطية، وهذا ما يسمح لنا بتطبيق فكرة الميل على المنحنيات عبر ما يسمى بخطوط القاطع. انظر إلى نشاط واحد: «خطوط القاطع». المطلوب هو تقدير ميل منحنى الدالة عند النقطة . الخطوات واضحة لتطبيقها على الآلة البيانية: ندخل الدالة في برنامج الرسم، ثم نحدد نقطتين على المنحنى ونرسم خطاً قاطعاً يمر بهما، ونطلب من الآلة حساب ميل هذا القاطع ليظهر لك في النهاية أنه يساوي أربعة عندما تقترب النقاط من بعضها.
صفحة ١٤٨
انظر إلى متابعة خطوات استكشاف ميل المنحنى في أعلى الصفحة. في الخطوة الثانية، نحسب ميل القاطع بمنحنى الدالة نفسه عندما تقترب قيم وتصبح و، فيكون ميل القاطع مساوياً لـ . وفي الخطوة الثالثة، نقترب أكثر لنأخذ القيمتين و، فيكون ميل القاطع مساوياً لـ . وفي الخطوة الرابعة، تستنتج القاعدة الأساسية: كلما نقص طول الفترة حول النقطة ، فإن ميل القاطع يقترب أكثر من العدد ثلاثة، ولهذا فإن ميل منحنى هذه الدالة عند تلك النقطة هو ثلاثة تقريباً. في منتصف الصفحة، انظر إلى قسم «تمارين»: طُلب منك تقدير ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة، وذلك بتطبيق نفس فكرة تصغير الفترة حول النقطة المحددة. وفي نهاية الصفحة، انظر إلى قسم «حلل النتائج» للإجابة عن الأسئلة حول ما يحدث لقاطع منحنى دالة عندما تقترب نقاط التقاطع من نقطة معطاة على المنحنى.
