التوزيعات ذات الحدين

يقوم درس التوزيعات ذات الحدين على دراسة التجارب الاحتمالية التي لها نتيجتان فقط، مثل النجاح أو الفشل، في محاولات مستقلة ومتكررة لعدد محدد. تعتمد الفكرة على حساب احتمال وقوع عدد معين من النجاحات خلال هذه المحاولات باستخدام صيغة رياضية تربط التوافيق باحتمالي النجاح والفشل. كما يتيح الدرس حساب المتوسط والتباين والانحراف المعياري، وتقريب التوزيع إلى التوزيع الطبيعي عندما تكبر عدد المحاولات. مثال ذلك: إذا أجري اختبار لعدة طلاب باحتمال نجاح معلوم، فيمكنك حساب احتمال نجاح عدد محدد منهم تماماً.

الفكرة الأساسية

يقوم درس التوزيعات ذات الحدين على التجارب الاحتمالية التي تحمل نتيجتين فقط لا ثالث لهما، نسميهما نجاح أو فشل، وتتكرر المحاولات لعدد محدد وثابت مع استقلال كل محاولة عن الأخرى، لنحسب من خلالها احتمال عدد معين من مرات النجاح.

الشرح

حتى تكون التجربة تجربة ذات حدين، يجب أن تحقق شروطا محددة: أن تعاد التجربة لعدد محدد من المحاولات المستقلة ونرمز له بالرمز $n$، وأن يكون لكل محاولة نتيجتان فقط هما نجاح نرمز له بـ $S$ أو فشل نرمز له بـ $F$. احتمال النجاح في كل محاولة هو $p$، بينما احتمال الفشل هو $q$ والذي يساوي دائماً $1 - p$. يمثل المتغير العشوائي $X$ عدد مرات النجاح في $n$ من المحاولات. لحساب احتمال حدوث النجاح في $X$ مرة من أصل $n$ محاولة، نستخدم الصيغة: $P(X) = _nC_x p^x q^{n - x} = \frac{n!}{(n - X)! X!} p^x q^{n - x}$ ولإيجاد المتوسط الحسابي لهذا التوزيع، نستخدم القانون: $\mu = np$ أما التتباين فيحسب بالصيغة: $\sigma^2 = npq$ والانحراف المعياري هو جذر التتباين: $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{npq}$ وإذا كان عدد المحاولات كبيراً، بحيث يحقق الشرطين $np \ge 5$ و $nq \ge 5$، فيمكننا تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي.

مثال محلول خطوة بخطوة

أكد 35 بالمئة من الطلاب أنهم أجروا الاختبار بشكل اعتيادي. إذا اختير 5 طلاب عشوائياً وسئلوا عما إذا أجروا الاختبار بشكل اعتيادي، وكان المتغير العشوائي $X$ يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم، أوجد احتمال أن ينجح 3 طلاب على الأقل. الخطوة 1: نحدد المعطيات من المسألة: عدد المحاولات $n = 5$ احتمال النجاح $p = 0.35$ احتمال الفشل $q = 1 - 0.35 = 0.65$ الخطوة 2: نحسب احتمال كل قيمة ممكنة لـ $X$ عند 3 و 4 و 5 باستخدام صيغة ذات الحدين: $P(3) = _5C_3 (0.35)^3 (0.65)^2 \approx 0.181$ $P(4) = _5C_4 (0.35)^4 (0.65)^1 \approx 0.049$ $P(5) = _5C_5 (0.35)^5 (0.65)^0 \approx 0.005$ الخطوة 3: نجمع الاحتمالات لأن المطلوب 3 طلاب على الأقل ($X \ge 3$): $P(X \ge 3) = P(3) + P(4) + P(5)$ $P(X \ge 3) = 0.181 + 0.049 + 0.005 = 0.235$ أي أن احتمال أن يجيب 3 طلاب على الأقل بنعم يساوي 23.5 بالمئة.

أخطاء شائعة

• الخلط بين احتمال النجاح $p$ واحتمال الفشل $q$، وتنسى أن مجموعهما يساوي دائماً الواحد الصحيح ($q = 1 - p$).
• إهمال التحقق من استقلال المحاولات، مثل السحب دون إرجاع، مما يغير احتمال النجاح في كل محاولة ويجعل التجربة ليست ذات حدين.
• الخطأ في تحديد قيم المتغير العشوائي $X$ الممكنة والتي تبدأ من الصفر وتنتتهي عند عدد المحاولات الكلي $n$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كانت نسبة النجاح في توزيع ذي حدين هي 60 بالمئة، ويوجد 18 محاولة، فما احتمال ألا توجد أي محاولة ناجحة؟ الإجابة: $P(0) = _{18}C_0 (0.60)^0 (0.40)^{18} \approx 0.0000068$ السؤال الثاني: في تجربة ذات حدين حيث $n = 5$ و $p = 0.45$، أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي $X$. الإجابة: المتوسط $\mu = 5 \times 0.45 = 2.25$، والتباين $\sigma^2 = 5 \times 0.45 \times 0.55 = 1.2375$، والانحراف المعياري $\sigma = \sqrt{1.2375} \approx 1.1124$