التوزيع الطبيعي

يقوم التوزيع الطبيعي على فكرة تمثيل البيانات في شكل منحنى يشبه الجرس، بحيث تتجمع القيم في الوسط عند المتوسط الحسابي وتتناقص تدريجيا كلما اتجهنا نحو الأطراف. يتميز هذا التوزيع بأن المتوسط والوسيط والمنوال متساوية، ويكون متماثلا حول المستقيم الراسي المار بالمتوسط. وأهم ما فيه هو القانون التجريبي الذي يحدد نسب البيانات الواقعة ضمن انحراف معيارى واحد، أو انحرافين، أو ثلاثة عن المتوسط، وهي على الترتيب 68%، و95%، و99%. فمثلا، إذا كان متوسط درجات الطلاب 34 والانحراف المعياري 5، فإن نسبة 68% منهم تقع درجاتهم بين 29 و39، وهي الفترة الناتجة عن طرح وجمع انحراف معيارى واحد من المتوسط.

الفكرة الأساسية

تخيل أنك رصدت أطوال مجموعة كبيرة من الأشخاص، ستجد أن أغلبهم يتركزون حول طول متوسط معين، وقليلين جدا هم القصع جدا أو الطوال جدا. هذا التجمع الطبيعي للبيانات نرسمه على شكل منحنى يشبه الجرس، وهو ما نسميه التوزيع الطبيعي. يقوم هذا التوزيع على فكرة التماثل، حيث تتطابق الجهة اليمنى مع الجهة اليسرى تماما.

الشرح

لكي نفهم التوزيع الطبيعي بدقة، علينا التعرف على خصائصه الأساسية ورموزه. الرمز $\mu$ يمثل المتوسط الحسابي، والرمز $\sigma$ يمثل الانحراف المعياري الذي يقيس مدى تشتت البيانات عن المتوسط. في المنحنى الطبيعي، ينطبق المتوسط والوسيط والمنوال في نقطة المنتصف تماما. ولحساب الاحتمالات ومعرفة نسب البيانات، نستخدم القانون التجريبي الذي ينص على ثلاثة أمور رئيسية:

1. يقع تقريباً 68% من البيانات في الفترة ($\mu - \sigma$, $\mu + \sigma$)، وهذا يعني أن النسبة الأكبر من البيانات لا تبتعد عن المتوسط أكثر من انحراف معيارى واحد.
2. يقع تقريباً 95% من البيانات في الفترة ($\mu - 2\sigma$, $\mu + 2\sigma$)، أي في حدود انحرافين معيارين.
3. يقع تقريباً 99% من البيانات في الفترة ($\mu - 3\sigma$, $\mu + 3\sigma$)، وهي الغالبية العظمى التي لا تتجاوز ثلاثة انحرافات معيارية. وعلى الرسم البياني للمنحنى، تتوزع المساحات تحت المنحنى بهذه النسب الثابتة: 34% ثم 34% حول الوسط، ثم 2% ثم 2%، وأخيرا 0.5% على الأطراف البعيدة.

مثال محلول خطوة بخطوة

المتوسط لتوزيع طبيعي $\mu = 34$، وانحرافه المعياري $\sigma = 5$. أوجد احتمال أن تزيد قيمة لـ X تم اختيارها عشوائيا في هذا التوزيع عن 24، أي أوجد $P(X > 24)$. الخطوة 1: أوجد القيم $\mu \pm \sigma$ و$\mu \pm 2\sigma$ و$\mu \pm 3\sigma$ (وهي المتوسط مضافا إليه أو مطروحا منه المضاعفات الثلاثة الأولى للانحراف المعياري). $\mu \pm \sigma = 34 \pm 5 = 29, 39$ $\mu \pm 2\sigma = 34 \pm 10 = 24, 44$ $\mu \pm 3\sigma = 34 \pm 15 = 19, 49$ الخطوة 2: ارسم منحنى التوزيع الطبيعي، وحدد عليه المتوسط $\mu = 34$ والقيم السابقة على المحور. الخطوة 3: ظلل المنطقة التي تمثل الاحتمال المطلوب، وهي هنا القيم الأكبر من 24. الخطوة 4: احسب الاحتمال المطلوب بجمع نسب المساحات الواقعة إلى يمين القيمة 24: $P(X > 24) = (13.5 + 34 + 34 + 13.5 + 2 + 0.5)\% = 97.5\%$ إذن $P(X > 24) \approx 97.5\%$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن منحنى التوزيع الطبيعي يلمس المحور الأفقي، والصواب أنه يقترب منه في جزئيه الموجب والسالب لكنه لا يمسه أبدا.
• الخلط بين مواقع النصف الأيمن والأيسر عند جمع أو طرح الانحرافات المعيارية من المتوسط.
• نسيان إضافة النصف بالمائة ($0.5\%$) الموجودة على أطراف المنحنى عند حساب المساحات الكلية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: متوسط لتوزيع طبيعي $\mu = 63$ وانحراف معياري $\sigma = 4$، أوجد احتمال $P(59 < X < 71)$. الإجابة: الفترة من 59 إلى 71 تمثل الانحراف المعياري الأول والثاني يمينا ويسارا ($63-4$ إلى $63+12$)، وبجمع النِسَب المقابلة ($34\% + 34\% + 13.5\%$) يكون الناتج $81.5\%$. السؤال الثاني: إذا كان عمر 10000 مصباح كهربائي يتوزع توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي 300 يوم وانحراف معياري 40 يوما، فكم مصباحا يقع عمره بين 260 يوما و340 يوما؟ الإجابة: الفترة بين 260 و340 تمثل انحراف معيارى واحدا تحت وفوق المتوسط ($300 - 40$ إلى $300 + 40$)، ونسبة البيانات فيها هي $68\%$. إذن العدد التقريبي للمصابيح يساوي $68\% \times 10000 = 6800$ مصباحا.