الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية

يقوم الاحتمال على قياس نسبة وقوع حادثة معينة إلى إجمالي النواتج الممكنة. إذا رمزنا لعدد مرات النجاح بالحرف $s$ والفشل بالحرف $f$، فإن احتمال النجاح يُحسب بالقانون $P(S) = \frac{s}{s+f}$. يعتمد حساب النواتج غالباً على التوافيق أو التباديل، بحسب ما إذا كان الترتيب مهماً أم لا. أما التوزيع الاحتمالي المنفصل فهو دالة تربط كل قيمة للمتغير العشوائي $X$ باحتمالها، بشرط أن يكون مجموع الاحتمالات مساوياً لـ $1$ وأن محصورة بين $0$ و $1$. وتُحسب القيمة المتوقعة $E(X)$ بضرب كل قيمة للمتغير العشوائي في احتمالها ثم جمع النواتج، مما يتيح لنا معرفة المتوقع حدوثه على المدى البعيد. لتوضيح ذلك، إذا سحبنا كرات أو رتبنا أشخاصاً، فإننا نحدد عدد عناصر النجاح ونقسمه على فضاء العينة لنحصل على النسبة المئوية لفرصة الوقوع.

الفكرة الأساسية

الاحتمال هو قياس فرصة وقوع حادثة معينة من بين مجموعة النواتج الممكنة لفضاء العينة. يرتكز هذا الدرس على ربط النواتج الحسابية باستخدام التوافيق والتباديل بحساب الاحتمالات، ثم الانتقال إلى التوزيع الاحتمالي المنفصل الذي يربط قيم المتغير العشوائي باحتمالاتها، وصولاً إلى حساب القيمة المتوقعة التي تمثل المتوسط الموزون لقيم المتغير.

الشرح

نبدأ بتعريف النجاح والفشل: إذا كان عدد مرات وقوع حادثة $S$ هو $s$، وعدد مرات الفشل هو $f$، فإن احتمال النجاح $P(S)$ يُحسب بالقانون $P(S) = \frac{s}{s+f}$، بينما احتمال الفشل $P(F) = \frac{f}{s+f}$. الملاحظ هنا أن $P(S)$ يكافئ تماماً عدد النواتج في الحادثة مقسوماً على عدد النواتج الممكنة في فضاء العينة. لحساب $s$ و $f$ في المسائل الكبيرة، نستخدم إما التوافيق عندما لا يكون للترتيب أهمية، أو التباديل عندما يكون للترتيب أهمية، مستخدمين مبدأ العد الأساسي. بعد ذلك، يأتي المتغير العشوائي $X$ وهو متغير يأخذ قيمًا عديدة لعدد محدود من القيم عبر تجربة عشوائية. التوزيع الاحتمالي المنفصل يربط بين كل قيمة من قيم $X$ واحتمال وقوعها، بشرطين أساسيين:

1. احتمال كل قيمة $X$ محصور بين $0$ و $1$ أي $0 \le P(X) \le 1$.
2. مجموع كل احتمالات قيم $X$ يساوي $1$ أي أن $\sum P(X) = 1$. أما القيمة المتوقعة أو التوقع $E(X)$ فهو المتوسط الموزون للقيم في التوزيع الاحتمالي المنفصل، ويُحسب بالقانون: $E(X) = \sum_{i=1}^{i=n} X_i \cdot P(X_i)$.

مثال محلول خطوة بخطوة

رُشحت مدرسة $12$ طالبًا من الصف الثاني الثانوي، و$16$ طالبًا من الصف الأول الثانوي للتنافس على $6$ جوائز؛ نظراً لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين، واختير $6$ منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالجوائز $3$ طلاب من الصف الأول الثانوي و$3$ طلاب من الصف الثاني الثانوي؟ الخطوة 1: حدد عدد مرات النجاح $s$. عدد طرق اختيار $3$ طلاب من الصف الثاني هو $_{12}C_3$. عدد طرق اختيار $3$ طلاب من الصف الأول هو $_{16}C_3$. استعمل التوافيق ومبدأ العد الأساسي لإيجاد $s$: $s = {}_{12}C_3 \cdot {}_{16}C_3 = \frac{12!}{9!3!} \cdot \frac{16!}{13!3!} = 123200$. الخطوة 2: حدد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة)، $s+f$. $s + f = {}_{28}C_6 = \frac{28!}{22!6!} = 376740$. الخطوة 3: أوجد الاحتمال. $P(S) = \frac{s}{s+f} = \frac{123200}{376740} \approx 0.327016$. إذن احتمال فوز $3$ طلاب من الصف الأول و$3$ من الصف الثاني هو تقريباً $0.33$ أو $33\%$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين التباديل والتوافيق؛ حيث يُستخدم الترتيب بالخطأ في مسائل لا تهم فيها الأهمية للترتيب.
• نسيان التحقق من شرط مجموع الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي المنفصل بحيث لا يساوي الواحد الصحيح.
• الخطأ في تحديد فضاء العينة الكلي $(s+f)$ بجعله مساوياً لعدد النجاحات فقط بدلاً من مجموع النجاحات والفشل.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: صندوق فيه $10$ كرات، منها $6$ حمراء، إذا سحبت منه كرتان معاً عشوائياً، فما احتمال أن تكون الكرتان حمراوين؟ الإجابة: $s = {}_{6}C_2 = 15$، و $s+f = {}_{10}C_2 = 45$، إذن الاحتمال يساوي $\frac{15}{45} = \frac{1}{3}$. السؤال الثاني: أوجد القيمة المتوقعة عند رمي مكعب مرقم من $1$ إلى $6$ مرة واحدة مع تسجيل الرقم الظاهر. الإجابة: $E(X) = 1\left(\frac{1}{6}\right) + 2\left(\frac{1}{6}\right) + 3\left(\frac{1}{6}\right) + 4\left(\frac{1}{6}\right) + 5\left(\frac{1}{6}\right) + 6\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{21}{6} = 3.5$.