الاحتمال المشروط

الدرس ١٢ من ٢١الرياضيات ٣صفحات ٩٧–١٠١

صفحة ٩٧

صفحة ١ من ٥

صفحة ٩٧

انظر إلى فقرة لماذا في أعلى الصفحة: يختبر هيثم دواء لمرض ما عبر مجموعتين، واحدة تتناول الدواء الحقيقي وأخرى دواء شكلياً، ليبحث في احتمال بقاء المستهدفين أصحاء نتيجة الدواء، وهذا يقودنا إلى الاحتمال المشروط. في صندوق مفهوم أساسي: الاحتمال المشروط للحادثة A بشرط وقوع الحادثة B يكتب هكذا $P(A \mid B)$ ويحسب بالقانون $P(A \mid B) = \frac{P(A \text{ و } B)}{P(B)}$ بشرط أن $P(B) \neq 0$ . انظر الآن إلى مثال واحد: ألقي مكعب أرقام مرة واحدة، والمطلوب احتمال ظهور العدد 3 علماً بأن العدد الظاهر فردي. نحدد فضاء النواتج وهو 6 نواتج. الحادثة A أن يكون العدد فردياً وناتجه 3 أرقام من 6، إذن احتمال $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . والتقاطع بين ظهور 3 وكونه فردياً هو ناتج واحد فقط إذن $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ . بتطبيق القانون نقسم التقاطع على احتمال B فينتج $\frac{1}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ . في سؤال تحقق من فهمك رقم 1، لديك كيس فيه 52 بطاقة مقسمة لأربعة ألوان ومرقمة من 1 إلى 13، والمطلوب إيجاد احتمال أن تحمل البطاقة العدد 13 علماً بأن مسحوبها يحمل العدد 11 أو 12 أو 13، حدد فضاء النواتج المشروط للعدد 11 أو 12 أو 13 ثم احسب الاحتمال بنفس طريقة المثال.

صفحة ٩٨

انظر إلى أعلى الصفحة في شرح الجداول التوافقية: الجدول التوافقي ينظم بيانات ذات بعدين، وكل خلية تمثل تكراراً نسبياً منسوباً إلى مجموع التكرارات أو إلى مجموع الصف أو العمود. انظر إلى مثال 2 من واقع الحياة: الجدول يوضح توزيع الأشخاص بحسب الإصابة بمرض وحالة المشي. المطلوب إيجاد احتمال أن يكون الشخص معافى علماً بأنه يمارس المشي. إجمالي الأشخاص في الدراسة هو $400 + 1200 + 800 + 1600 = 4000$ شخصاً. نطبق قانون الاحتمال المشروط $P(H \mid W) = \frac{P(H \text{ و } W)}{P(W)}$ . عدد من يمارس المشي ومعافى هو 800 من أصل 4000، وإجمالي من يمارس المشي هو $1600 + 800 = 2400$ من أصل 4000. إذن الناتج هو قسمة $\frac{800}{4000}$ على $\frac{2400}{4000}$ ليصبح الناتج $\frac{1}{3}$ . في سؤال تحقق من فهمك 2، طبق نفس الجدول لإيجاد احتمال أن يكون الشخص معافى علماً بأنه لا يمارس المشي. انظر الآن إلى مثال 3 على اختبار: الجدول يوضح أعداد الطلاب الجامعيين بحسب سنة الدراسة. المطلوب معرفة احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي K علماً بأنه في السنة الثالثة T. إجمالي طلاب السنة الثالثة هو 1180 طالباً. تقاطع المنتخب الجامعي مع السنة الثالثة هو 36 طالباً. إذن $P(K \cap T) = \frac{36}{1180}$ واحتمال $T$ هو $\frac{36 + 276}{1180}$ . اقسم القيمتين لتجد النتيجة التي تساوي تقريباً $11.5\%$ وهي الخيار A. في سؤال تحقق من فهمك 3، أوجد احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي علماً بأنه في السنة الأولى بنفس الطريقة.

صفحة ٩٩

انظر إلى قسم تدرب وحل المسائل. في السؤال الأول، لديك كيس فيه كرات حمراء وصفراء وبيضاء وخضراء بإجمالي أعداد محددة، وسحبت كرة واحدة عشوائياً. لإيجاد الاحتمال في كل فرع، استخدم قانون الاحتمال المشروط بناءً على المعطى بعد كلمة علماً. ففي فرع 1: ما احتمال أن تكون الكرة خضراء، إذا علم أنها ليست زرقاء؟ احسب عدد الكرات التي ليست زرقاء لتكون هي فضاء النواتج الجديد، ثم اقسم عدد الكرات الخضراء عليها. في فرع 6 الخاص بالقطاعات الدائرية، دار مؤشر قرص مرقم من 1 إلى 8، فما احتمال استقرار المؤشر عند العدد 8 إذا علم أنه استقر عند عدد زوجي؟ الأعداد الزوجية هنا هي 2 و4 و6 و8، وهي 4 أعداد، وعدد ظهور 8 منها هو مرة واحدة، إذن الاحتمال هو $\frac{1}{4}$ أي $25\%$ تقريبا، اختر الإجابة الأقرب. في السؤال 7، انظر إلى الجدول المرفق الذي يوضح أداء مجموعة في فحص القيادة، وطبق قانون الاحتمال المشروط لإيجاد الاحتمال في الفروع a وb وc بحسب الشروط المذكورة لكل فرع. في السؤال 8 حول دروس التقوية، استعمل الجدول الذي يعرض أعداد طلاب الصفين الثاني المتوسط والثالث المتوسط المشتركين وغير المشتركين، وطبق شروط الاحتمال المشروط المذكورة في الفروع من 11 إلى 14 بناءً على إلقاء أربع قطع نقد.

صفحة ١٠٠

انظر إلى صفحة المراجعة وتدريب على اختبار. في السؤال 15 حول البطاقات، لديك 52 بطاقة مقسمة لأربعة ألوان ومرقمة من 1 إلى 13، والمطلوب احتمال أن تحمل البطاقة الرقم 9 علماً بأنها حمراء اللون. عدد البطاقات الحمراء هو 13 بطاقة، والبطاقة رقم 9 الحمراء هي بطاقة واحدة فقط، إذن الاحتمال هو $\frac{1}{13}$ . في السؤال 16، انظر إلى جدول أعداد الألعاب الإلكترونية، واقترح احتمالا مشروطاً في الفرع a يخص ألعاب المصارعة علماً بأنها ليست من ألعاب كرة القدم، حيث تحسب عدد ألعاب المصارعة وتقسمه على إجمالي الألعاب ما عدا كرة القدم. في قسم مسائل التفكير العليا، السؤال 17 يطلب إيجاد احتمال ظهور الرقم 2 في الرمايات الخمس علماً بأن الرقم 2 ظهر في الرمايات الثلاث الأولى، استعمل مبدأ الضرب في الاحتمالات المستقلة أو المشروطة بحسب التجربة. في السؤال 26 من تدريب على اختبار، إذا كانت الحادثتان A وB في فضاء عينة عشوائي بحيث كان $P(A) = 0.2$ و $P(B) = 0.5$ و $P(A \cup B) = 0.4$ ، فأوجد قيمة $P(A \mid B)$ . تذكر أولاً أن قانون الاتحاد هو $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ لتجد التقاطع، ثم استخدم قانون الاحتمال المشروط لتقسم التقاطع على $P(B)$ وتحصل على الجواب.

صفحة ١٠١

انظر إلى صفحة اختبار منتصف الفصل للدروس من 1-7 إلى 3-7. في التدريب الأول حول دراسات مسحية، حدد ما إذا كانت كل دراسة تبيّن عينة متحيزة أو غير متحيزة مع تفسير إجابتك كما درست في الدروس السابقة. في السؤال الرابع من اختيار من متعدد، حدد أيّاً من العبارات الآتية توضح السببية: هل هي التدرب اليومي لتصبح لاعباً محترفا في كرة السلة، أم قراءة الكتاب المقرر لتنجح في الاختبار، أم التقدم لوظائف مختلفة لتتلقى عرضاً واحداً على الأقل، أم الوقوف في الخارج تحت المطر لتتبلل؟ اختر العبارة التي تعبر عن علاقة سبب ونتيجة حتمية. في السؤال الثامن، يحاول باحث أن يحدد أثر إضاءة نوع جديد من المصابيح الكهربائية على أزهاره المنزلية بمقارنتها بمجموعة أخرى تتعرض لإضاءة المصابيح العادية، انظر إلى الجدول المرفق الذي يوضح أعداد الأزهار التي عاشت أو ماتت في المجموعتين، واستخدم بيانات الجدول لتطبيق مفاهيم الاحتمال التجريبي والمشروط عند الحاجة. في السؤال الحادي عشر، في القرص ذي المؤشر الدوار المقسم إلى 16 قطاعاً مطابقاً والمرقمة بالأعداد من 1 إلى 16، ما احتمال استقرار المؤشر على عدد فردي، إذا علم أنه استقر على عدد أكبر من 3؟ حدد أولاً الأعداد الأكبر من 3 وهي من 4 إلى 16 وتعد 13 عدداً، ثم عدّ الأعداد الفردية ضمن هذه المجموعة واقسمها على 13 لتصل إلى الناتج الصحيح.

يقوم الاحتمال المشروط على إيجاد احتمال وقوع حادثة بشرط علمنا أن حادثة أخرى قد وقعت بالفعل. نرمز لاحتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع A بالرمز $P(B|A)$ . القاعدة الأساسية تقسم احتمال وقوع الحادثة المشتركة $P(A \text{ و } B)$ على احتمال الحادثة الواقعة $P(A)$ بشرط أن $P(A) \neq 0$ . فمثلاً، عند إلقاء مكعب أرقام، إذا علمنا أن العدد الظاهر فردي، وأردنا حساب احتمال أن يكون هذا العدد هو 3، فإن فضاء العينة يتقلص من النواتج الستة كلها إلى النواتج الفردية فقط وهي ثلاثة نواتج، وبما أن الرقم 3 يظهر مرة واحدة بين الفردية، يصبح الاحتمال هو $\frac{1}{3}$ . نستخدم هذه الطريقة في الجداول التوافقية من خلال قسمة التكرار المشترك على المجموع الجزئي للشرط المعطى.

الفكرة الأساسية

الاحتمال المشروط هو حساب احتمال وقوع حادثة معينة، ولكن بعد التأكد أو العلم بأن حادثة أخرى قد حدثت بالفعل. هذا الشرط يقلص فضاء العينة الأصلي إلى فضاء جديد أصغر يقتصر فقط على النواتج التي تنتمي للحادثة المعلومة. نرمز لهذه الحالة بالرمز $P(B|A)$ والذي يقرأ: احتمال وقوع الحادثة $B$ بشرط وقوع الحادثة $A$ .

الشرح

لكي نحسب الاحتمال المشروط رياضياً، فإننا نستعمل القانون الآتي: $P(B|A) = \frac{P(A \text{ و } B)}{P(A)}, \quad P(A) \neq 0$ في هذا القانون، يمثل البسط $P(A \text{ و } B)$ احتمال وقوع الحادثتين معاً، بينما يمثل المقام $P(A)$ احتمال وقوع الحادثة الشرطية التي وقعت وانتهت. يمكننا أيضاً استخدام الجداول التوافقية التي تسجل بيانات ذات بعدين، حيث نقسم التكرار المشترك في الخلية على مجموع التكرارات في الصف أو العمود الذي يقع فيه الشرط المعطى.

مثال محلول خطوة بخطوة

ألقت عبير مكعب أرقام مرة واحدة. ما احتمال ظهور العدد 3، علمًا بأن العدد الظاهر فردي؟

نحدد فضاء العينة الأصلي لمكعب الأرقام وهو 6 نواتج.
نحدد الحادثة الأولى $A$ وهي ظهور عدد فردي، وعدد نواتجها 3 نواتج وهي (1، 3، 5)، إذن $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
نحدد الحادثة المشتركة بين ظهور العدد 3 وكونه فردياً، وهي ظهور العدد 3 فقط، إذن احتمالها $P(A \text{ و } B) = \frac{1}{6}$ .
نطبق قانون الاحتمال المشروط: $P(B|A) = \frac{P(A \text{ و } B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ إذن احتمال ظهور العدد 3 علماً بأن العدد الظاهر فردي هو $\frac{1}{3}$ .

أخطاء شائعة

القسمة على فضاء العينة الكلي بدلاً من فضاء العينة المصغر الخاص بالحادثة الشرطية التي وقعت.
الخلط بين البسط والمقام في قانون الاحتمال المشروط، حيث يوضع احتمال الشرط في البسط بدلاً من المقام.
نسيان استبعاد النواتج التي لا تحقق الشرط المعطى عند القراءة السريعة للجداول التوافقية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: يحتوي كيس على 52 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات لكل لون من الألوان الآتية: الأحمر والأخضر والأزرق والأصفر، ورقمط بطاقات كل لون بالأعداد من 1 إلى 13. إذا سحبت نوال بطاقة، فما احتمال أن تحمل هذه البطاقة العدد 13 علماً بأن ما سحبته كان العدد 11 أو 12 أو 13؟ الإجابة: $\frac{1}{3}$

السؤال الثاني: أوجد احتمال أن يكون الشخص مختاراً عشوائياً معافى، علماً بأنه لا يمارس المشي، مستعيناً بالجدول التوافقي التالي (مريض يمارس المشي 1600، مريض لا يمارس المشي 1200، معافى يمارس المشي 800، معافى لا يمارس المشي 400). الإجابة: $\frac{1}{4}$ أو 25% تقريباً.