التحليل الإحصائي

يقوم التحليل الإحصائي على وصف البيانات وفهم خصائصها عبر مقاييس النزعة المركزية مثل المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال لاكتشاف مركز البيانات، ومعرفة مدى تقاربها أو تباعدها باستخدام مقاييس التشتت كالانحراف المعياري. كما يدرس المسوحات لتحديد دقتها عبر هامش المعاينة الذي يحسب بالقانون $\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ لحساب الفترة الممكنة لنسبة المجتمع. على سبيل المثال، إذا كانت عينة حجمها $2148$ شخصا أفاد $58$ بالمائة منهم بفضل لعبة معينة، فإن هامش المعاينة يكون $\pm \frac{1}{\sqrt{2148}} \approx \pm 0.0216$ أو $2.16$ بالمائة تقريبا، لتصبح الفترة الممكنة للمجتمع بين $55.84$ بالمائة و$60.16$ بالمائة.

الفكرة الأساسية

يقوم التحليل الإحصائي على تلخيص البيانات ووصفها بطرق دقيقة تعكس خصائص المجتمع أو العينة. يعتمد ذلك على اختيار مقياس النزعة المركزية الأنسب، وحساب هامش المعاينة لتقدير دقة الدراسات المسحية، واستخدام مقاييس التشتت لقياس مدى تباعد القيم عن المتوسط.

الشرح

نبدأ بمقاييس النزعة المركزية: المتوسط الحسابي وهو مجموع القيم مقسوما على عددها ويستخدم إن لم توجد قيم متطرفة، والوسيط وهو القيمة التي تشغل منتصف البيانات بعد ترتيبها ويستخدم عند وجود قيم متطرفة أو فجوات كبيرة، والمنوال وهو القيمة الأكثر تكرارا. أما في الدراسات المسحية لعينات حجمها $n$ من مجتمع كلي، فيتم تقريب هامش المعاينة بالقيمة $\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$، ونستخدم هذا الهامش لإيجاد الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع بطرح الهامش وجمعه من نسبة العينة. وفي جانب مقاييس التشتت، نصف تباعد البيانات عن طريق الانحراف المعياري، حيث يحسب للعينات بالقانون $s = \sqrt{\frac{\sum_{k=1}^{n} (x_k - \bar{x})^2}{n - 1}}$، وللمجتمع بالقانون $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{k=1}^{n} (x_k - \mu)^2}{n}}$، حيث يمثل $\mu$ المتوسط الحسابي للمجتمع ويمثل $x_k$ قيم المجتمع.

مثال محلول خطوة بخطوة

في دراسة مسحية شملت $2148$ شخصا، أفاد $58$ بالمائة منهم أن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة. أوجد هامش المعاينة والفترة الممكنة للمجتمع. الخطوة الأولى: نكتب قانون هامش المعاينة وهو $\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$. الخطوة الثانية: نعوض بقيمة $n$ التي تساوي $2148$ ليصبح الناتج $\pm \frac{1}{\sqrt{2148}}$. الخطوة الثالثة: نحسب الناتج بالحاسبة فيقارب $\pm 0.0216$ أي بنسبة $\pm 2.16$ بالمائة تقريبا. الخطوة الرابعة: نجد الحد الأدنى للفترة بطرح الهامش من نسبة العينة هكذا: $58 - 2.16 = 55.84$ بالمائة. الخطوة الخامسة: نجد الحد الأعلى للفترة بجمع الهامش إلى نسبة العينة هكذا: $58 + 2.16 = 60.16$ بالمائة. الخطوة السادسة: تصبح الفترة الممكنة للمجتمع تقع بين $55.84$ بالمائة و$60.16$ بالمائة في الفترة $(60.16, 55.84)$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء الشائعة استخدام المتوسط الحسابي لوصف بيانات تحتوي على قيم متطرفة واضحة، والصحيح هو استخدام الوسيط لأنه لا يتأثر بالقيم المتطرفة. ومن الأخطاء أيضا نسيان طرح واحد من المقام في قانون الانحراف المعياري للعينات ليصبح $n - 1$ بدلا من $n$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في دراسة مسحية شملت $3247$ شخصا، قال $41$ بالمائة إنهم مرتاحون للنهضة العلمية. ما هامش المعاينة وما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع المرتتاحين؟ الإجابة: هامش المعاينة $\pm \frac{1}{\sqrt{3247}} \approx \pm 0.0175$ أو $\pm 1.75$ بالمائة تقريبا. والفترة الممكنة هي من $39.25$ بالمائة إلى $42.75$ بالمائة. السؤال الثاني: من مقاييس النزعة المركزية، أي مقياس تستخدم لوصف مجموعة بيانات لا تحتوي على قيم متطرفة ولماذا؟ الإجابة: المتوسط الحسابي، لأنه يعتمد على جميع القيم ويعد الأكثر فائدة عندما لا توجد قيم متطرفة.