الأعداد المركبة ونظرية ديموافر (٢)

يقوم درس الأعداد المركبة ونظرية ديموافر على تمثيل الأعداد المركبة في المستوى القطبي بدل المستوى الديكارتي، باستخدام المقياس r والسعة الصغرى لتسهيل عمليات الضرب والقسمة ورفع العدد إلى أُسّ نوني. فالصورة القطبية للعدد المركب $a+bi$ هي $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$. تعطينا نظرية ديموافر طريقة سريعة لرفع الأعداد المركبة لأسس كبيرة عبر القانون $z^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$. كما تتيح لنا إيجاد الجذور النونية للعدد المركب بتوزيع الزوايا عبر صيغة الجذور المختلفة. فعند ضرب عددين مركبين مثلاً، نضرب المقياسين ونجمع السعتين مباشرة دون الحاجة لفك الأقواس الطويلة، مما يختصر الكثير من الجهد في العمليات الحسابية المعقدة.

الفكرة الأساسية

العدد المركب الذي تكتبه بصيغة $a+bi$ يمكن نقله إلى المستوى القطبي ليكون على الصورة $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$. هذه النقلة لا تسهل الرسم فقط، بل تجعل عمليات الضرب والقسمة ورفع العدد لأسس عالية أشبه بلعبة بسيطة تجمع فيها الزوايا وتضرب الأطوال، بدل الأقواس الطويلة المعتادة.

الشرح

لكي تحول أي عدد مركب إلى الصورة القطبية، تحتاج إلى أمرين أساسيين: المقياس $r$ والسعة $\theta$. المقياس تحسبه من صيغة التحويل $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ والتي تمثل طول الوتر في المثلث القائم. أما السعة فتحسبها من العلاقة $\theta = \text{Tan}^{-1}(\frac{b}{a})$ مع مراعاة الربع الذي تقع فيه النقطة بناء على إشارتي $a$ و$b$.

عندما تضرب عددين مركبين $z_1$ و$z_2$, فإن صيغة الضرب تنص على أن $z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]$. لاحظ القاعدة هنا: اضرب المقياسين معاً، واجمع السعتين معاً. وفي القسمة تطرح السعات وتقسم المقياسين.

أما إذا أردت رفع العدد المركب إلى أُس صحيح موجب مثل $n$, فتأتي هنا نظرية ديموافر لتختصر عليك الوقت: $z^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$. هنا ترفع المقياس للقوة $n$, وتضرب السعة $\theta$ في $n$.

ولإيجاد الجذور النونية للعدد المركب $r(\cos \theta + i \sin \theta)$, تستخدم صيغة الجذور المختلفة: $r^{\frac{1}{n}}[\cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]$ حيث $k$ تأخذ القيم من $0$ إلى $n-1$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج $3(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) \cdot 5(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6})$ على الصورة القطبية، ثم تحوله إلى الصورة الديكارتية.

الخطوة الأولى: طبق صيغة الضرب بضرب المقياسين وجمع السعتين: $= (3 \cdot 5)[\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{6})]$.

الخطوة الثانية: وحد المقامات واجمع الزوايا: $= 15[\cos(\frac{17\pi}{12}) + i \sin(\frac{17\pi}{12})]$ وهي الصورة القطبية.

الخطوة الثالثة: للتحويل إلى الصورة الديكارتية، أوجد قيمتي الجيب وجيب التمام وقارب الناتج: $= 15[-0.26 + i(-0.966)]$.

الخطوة الرابعة: استعمل خاصية التوزيع لتصل إلى الناتج النهائي المقرب: $= -3.9 - 14.5i$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول هو نسيان تحديد الربع الصحيح للزاوية عند حساب السعة $\theta$ باستعمال الدالة العكسية للظل، مما يغير اتجاه المتجه كلياً. الخطأ الثاني هو عدم توحيد مقامات الزوايا عند جمعها في عملية ضرب الأعداد المركبة. الخطأ الثالث في نظرية ديموافر هو ضرب الأس في المقياس بدل رفعه إليه كقوة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: عبر عن العدد المركب $z = 4i$ بالصورة القطبية. الإجابة: $4(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$

السؤال الثاني: أوجد ناتج الضرب للعبارة $2(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) \cdot 4(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ على الصورة القطبية. الإجابة: $8(\cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12})$