الأعداد المركبة ونظرية ديموافر (١)

يقوم هذا الدرس على تمثيل الأعداد المركبة هندسياً في المستوى المركب، وتحويلها بين الصورتين الديكارتية والقطبية باستخدام المقياس والسعة. يوضح الدرس كيفية إجراء العمليات الحسابية كالضرب والقسمة بسهولة عبر الصورة القطبية بضرب المقاييس وجمع أو طرح السعات. كما يتناول حساب القوى للأعداد المركبة باستخدام نظرية ديموافر التي ترفع المقياس للقوة وتضرب السعة فيها، إضافة إلى إيجاد الجذور النونية المختلفة موزعة بانتظام على دائرة. مثال سريع: لتحويل العدد $z = 4 + 3i$ إلى الصورة القطبية، نحسب المقياس $|z| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$، والسعة $\theta = \text{Tan}^{-1}(\frac{3}{4}) \approx 0.64$， لتصبح الصورة القطبية $5(\cos 0.64 + i \sin 0.64)$، واستخدام نظرية ديموافر يتيح رفع هذا العدد لأي قوة بسهولة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول التعامل مع الأعداد المركبة من منظور هندسي وقطبي، بدلاً من الاكتفاء بالصورة الجبرية المعتادة $a + bi$. يتضمن ذلك تمثيلها في مستوى، وإيجاد طولها المسمى بالمقياس وزاويتها المسماة بالسعة، مما يسهل عمليات الضرب والقسمة ورفع العدد إلى قوى كبرى واستخراج الجذور بطرق هندسية مبسطة لا تتطلب ضرب الأقواس الطويلة.

الشرح

نبدأ بتمثيل العدد المركب $z = a + bi$ بنقطة إحداثياتها $(a, b)$ في المستوى المركب، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي. القيمة المطلقة أو المقياس $r$ للعدد المركب هي مسافته عن نقطة الأصل، وتُحسب بنظرية فيثاغورس عبر العلاقة $|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$. أما السعة $\theta$ فهي الزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور الحقيقي الموجب، وتُحسب بالدالة العكسية للظِل $\theta = \text{Tan}^{-1}(\frac{b}{a})$ مع مراعاة ربع وقوع النقطة.

تُكتب الصورة القطبية للعدد المركب على الشكل $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$. عند ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ و$z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$، فإننا نضرب المقياسين ونجمع السعتين: $z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]$. أما في القسمة فنقسم المقياسين ونطرح السعتين.

لحساب قوى الأعداد المركبة الصحيحة الموجبة، نستخدم نظرية ديموافر التي تنص على أن $z^n = [r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$؛ أي أننا نرفع المقياس للقوة $n$ ونضرب السعة في $n$. وإذا أردنا إيجاد الجذور النونية المختلفة لعدد مركب، فنستخدم الصيغة التي تقسم المقياس جذراً نونياً وتوزع السعة بإضافة دورات كاملة مقسومة على $n$ وفق الصيغة $r^{\frac{1}{n}} (\cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n})$ حيث $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج العبارة الآتية على الصورة القطبية ثم عبر عنه بالصورة الديكارتية: $2(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}) \cdot 4(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ الخطوة الأولى: نطبق صيغة ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية بضرب المقياسين وجمع السعتين. العبارة تصبح: $(2 \cdot 4) [\cos(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{6})]$. الخطوة الثانية: نبسط ناتج ضرب المقاييس وجمع الزوايا بتوحيد المقام. $\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$، إذن المجموع هو $\frac{10\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$. تصبح الصورة القطبية للناتج: $8(\cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6})$. الخطوة الثالثة: نوجد قيم الجيب وجيب التمام للزويّة $\frac{11\pi}{6}$. $\cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ و$\sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}$. الخطوة الرابعة: نعوض بالقيم ونوزع المقياس للوصول للصورة الديكارتية. $8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = 4\sqrt{3} - 4i$.

أخطاء شائعة

1. إهمال تحديد الربع الصحيح عند حساب السعة $\theta$ باستخدام $\text{Tan}^{-1}(\frac{b}{a})$، مما يؤدي إلى وضع الزاوية في ربع خاطئ وتغيير إشارة العدد.
2. نسيان جمع السعات أو ضربها خطأً؛ ففي حالة الضرب تُجمع السعات ولا تضرب، وفي حالة نظرية ديموافر تُضرب السعة في القوة $n$ ولا ترفع لها.
3. الخلط بين إيجاد المقياس برفعه للقوة النونية في نظرية ديموافر وبين جذره النوني عند البحث عن الجذور.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: عبر عن العدد المركب $4 + \sqrt{3}i$ بالصورة القطبية. الإجابة: المقياس $r = \sqrt{4^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{19} \approx 4.36$، والسعة $\theta = \text{Tan}^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{4}) \approx 0.41$، إذن الصورة القطبية هي $4.36(\cos 0.41 + i \sin 0.41)$ تقريباً.

السؤال الثاني: أوجد القوة السادسة للعدد $4 + 4\sqrt{3}i$ مستخدماً نظرية ديموافر وعبر عنه بالصورة الديكارتية. الإجابة: المقياس $8$ والسعة $\frac{\pi}{3}$، وعند تطبيق نظرية ديموافر برفع المقياس للأس $6$ وضرب السعة في $6$ ينتج $8^6(\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 262144(1 + 0i) = 262144$.