الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات

يقوم هذا الدرس على فكرة جسر الفجوة بين النظام القطبي والنظام الديكارتي، بحيث يتم تحويل إحداثيات النقاط والمعادلات بين الصورتين بكل سهولة. تعتمد عملية التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية على العلاقات $x = r \cos \theta$ و $y = r \sin \theta$. أما التحويل العكسي من الديكارتية إلى القطبية فيعتمد على نظرية فيثاغورس لإيجاد المسافة $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ودالة الظل لإيجاد الزاوية $\theta = \text{Tan}^{-1} \frac{y}{x}$ مع مراعاة ربوع المستوى. مثال سريع: لتحويل النقطة القطبية $(4, \frac{\pi}{6})$ إلى ديكارتية، نطبق $x = 4 \cos \frac{\pi}{6} = 2\sqrt{3}$ و $y = 4 \sin \frac{\pi}{6} = 2$ لتصبح النقطة الديكارتية $(2\sqrt{3}, 2)$.

الفكرة الأساسية

تخيل أن لديك موقعاً على الخريطة، تارة تصفه بمسافة أفقية ورأسية وهذا هو النظام الديكارتي $(x, y)$، وتارة أخرى تصفه بمسافة مباشرة من نقطة الأصل وزاوية ميل وهذا هو النظام القطبي $(r, \theta)$. يهدف هذا الدرس إلى تعلم كيفية الانتقال بسلاسة تامة بين هاتين الصورتين، سواء للنقاط المفردة أو للمعادلات الرياضية الكاملة.

الشرح

لنبدأ أولاً بتحويل الإحداثيات القطبية $(r, \theta)$ إلى إحداثيات ديكارتية $(x, y)$. إذا تخيلت مثلثاً قائم الزاوية داخل دائرة الوحدة، فإن الضلع المجاور للزاوية يمثل الإحداثي $x$ والضلع المقابل يمثل الإحداثي $y$. من تعريف النسب المثلثية، نحصل على صيغ التحويل الأساسية: $x = r \cos \theta$ $y = r \sin \theta$ بضرب طول نصف القطر $r$ في جيب وجيب تمام الزاوية، تحصل فوراً على الإحداثيين الديكارتيين.

أما عندما تريد العكس، أي تحويل الإحداثيات الديكارتية $(x, y)$ إلى إحداثيات قطبية $(r, \theta)$، فإنك تحتاج إلى حساب المسافة المباشرة من نقطة الأصل باستخدام نظرية فيثاغورس: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ولإيجاد الزاوية $\theta$، تستعمل دالة الظل العكسية لأن النسبة بين المقابل والمجاور هي $\frac{y}{x}$: $\theta = \text{Tan}^{-1} \frac{y}{x}$ عليك الحذر هنا عند تحديد الزاوية اعتماداً على موقع النقطة؛ فإذا كانت $x > 0$ تقع في الربع الأول أو الرابع وتستخدم الناتج مباشرة، أما إذا كانت $x < 0$ فيجب عليك إضافة $\pi$ أو $180^\circ$ إلى زاوية الظل لتقع في الربع الصحيح الثاني أو الثالث.

مثال محلول خطوة بخطوة

حول الإحداثيات القطبية $(4, \frac{\pi}{6})$ إلى إحداثيات ديكارتية.

1. حدد القيم المعطاة من الزوج المرتب القطبي: $r = 4$ و $\theta = \frac{\pi}{6}$.
2. اكتب صيغة إيجاد الإحداثي السيني وعوض فيها: $x = r \cos \theta$ $x = 4 \cos \frac{\pi}{6}$ بما أن قيمة جيب التمام هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$، يصبح الناتج: $x = 4 (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3}$
3. اكتب صيغة إيجاد الإحداثي الصادي وعوض فيها: $y = r \sin \theta$ $y = 4 \sin \frac{\pi}{6}$ بما أن قيمة الجيب هي $\frac{1}{2}$، يصبح الناتج: $y = 4 (\frac{1}{2}) = 2$
4. إذن الإحداثيات الديكارتية هي $(2\sqrt{3}, 2)$ أو تقريباً $(3.46, 2)$.

أخطاء شائعة

• نسيان إضافة $\pi$ أو $180^\circ$ عند حساب الزاوية $\theta$ في التحويل من الديكارتية إلى القطبية عندما يكون الإحداثي $x$ سالباً.
• الخلط بين وضع الآلة الحاسبة (الدرجات Degrees أو الراديان Radians) مما يؤدي إلى حساب قيم خاطئة للدوال المثلثية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حول الإحداثيات القطبية $(2, \frac{\pi}{3})$ إلى إحداثيات ديكارتية. الإجابة: $(1, \sqrt{3})$

السؤال الثاني: اكتب معادلة الدائرة $x^2 + y^2 = 9$ على الصورة القطبية. الإجابة: $r = 3$