الإحداثيات القطبية

يقوم نظام الإحداثيات القطبية على تحديد مواقع النقط في المستوى باستعمال مسافة وزاوية بدلًا من المحاور الديكارتية. تبدأ من نقطة ثابتة تسمى القطب، ونصف مستقيم يسمى المحور القطبي. يُكتب الزوج المرتب على صورة $(r, heta)$، حيث $r$ تمثل المسافة الموجهة و$heta$ هي الزاوية التي تقاس بعكس اتجاه عقارب الساعة للقياس الموجب. على سبيل المثال، لتمثيل النقطة $(2, 45^ heta)$، ترسم ضلع الانتهاء للزاوية $45^ heta$ وتتحرك مسافة وحدتين على هذا الضلع من القطب. كما يتيح النظام تمثيل معادلات قطبية وحساب المسافة بين نقطتين قطبيتين باستعمال قانون خاص يربط بين المسافات والزوايا.

الفكرة الأساسية

لو رغبت في تحديد موقع طائرة في السماء، فإنك لا تستعمل شبكة مربعات ديكارتية معتادة، بل تقيس مسافة وزاوية من محطة الرادار. هذا هو أساس نظام الإحداثيات القطبية؛ نقطة أصل تسمى القطب يخرج منها نصف مستقيم يسمى المحور القطبي، وتُعطى أي نقطة بزوج مرتب $(r, heta)$ يمثل المسافة والاتجاه.

الشرح

انظر إلى الشكل: النقطة الثابتة O هي القطب، ونصف المستقيم الممتد أفقياً إلى اليمين هو المحور القطبي. الزوج المرتب $(r, heta)$ يتكون من عنصريْن: $r$ وهي المسافة المتجهة من القطب، و$heta$ وهي الزاوية المحصورة بين المحور القطبي والضلع الواصل بالنقطة. إذا كانت $r$ موجبة، تُعين النقطة على ضلع الانتهاء للزاوية، أما إذا كانت $r$ سالبة، فتُعين على امتداد ضلع الانتهاء في الاتجاه المقابل. ولحساب المسافة بين نقطتين في المستوى القطبي $P_1(r_1, heta_1)$ و$P_2(r_2, heta_2)$، نستخدم الصيغة: $P_1P_2 = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}$

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل النقطة $A(2, 45^ heta)$ في المستوى القطبي. الخطوة الأولى: حدد الزاوية $heta = 45^ heta$ وارسم ضلع الانتهاء لها بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتدَاء. الخطوة الثانية: بما أن $r = 2$ وهي قيمة موجبة، تحرك من القطب مسافة وحدتين على طول ضلع الانتهاء للزاوية $45^ heta$ وضع النقطة A.

أخطاء شائعة

من الخطأ الاعتقاد بأن لكل نقطة زوجاً مرتباً وحيداً في النظام القطبي كما في النظام الديكارتي، فكل زاوية يمكن كتابتها بعدد لا نهائي من الطرق بإضافة دورات كاملة ($360^ heta$ أو $2\pi$)، أو بتغيير إشارة المسافة $r$ مع عكس الاتجاه.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: مثّل النقطة $D(-1, \frac{\pi}{2})$ في المستوى القطبي. الإجابة: ارسم ضلع الانتهاء للزاوية $\frac{\pi}{2}$، وبما أن $r = -1$ سالبة، تحرك وحدة واحدة في الاتجاه المقابل (على الامتداد الأسفل) وضع النقطة. السؤال الثاني: أوجد المسافة بين النقطتين $(5, 310^ heta)$ و$(6, 345^ heta)$. الإجابة: بتطبيق صيغة المسافة القطبية، ينتج أن المسافة تقارب $3.44$ تقريباً.