الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء

يقوم هذا الدرس على إيجاد الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد. الضرب الداخلي يعطي عدداً حقيقياً ويُستخدم لمعرفة إذا كان المتجهان متعامدين عندما يكون الناتج صفراً، أو لحساب الزاوية بينهما. أما الضرب الاتجاهي فينتج عنه متجه جديد عمودي على المتجهين الأصليين، ويُستفاد منه هندسياً في حساب مساحة متوازي الأضلاع وحجم متوازي السطوح عبر الضرب القياسي الثلاثي. مثال الضرب الداخلي: إذا كان المتجهان $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ و\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$، فإن حاصل ضربهما الداخلي هو$(1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32$. وإذا نتج عن الضرب الداخلي صفر، فهذا يعني أن المتجهين متعامدان في الفضاء.

الفكرة الأساسية

نتعامل هنا مع طريقتين لضرب المتجهات في الفضاء بثلاثة أبعاد: الضرب الداخلي الذي ينتج عنه عدد حقيقي لمعرفة التعامد والزوايا، والضرب الاتجاهي الذي ينتج عنه متجه جديد عمودي على المتجهين الأصليين لحساب المساحات والحجوم.

الشرح

لدينا متجهان في الفضاء هما $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ و$\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$.

أولاً، الضرب الداخلي يحسب بالقانون: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$. إذا كان الناتج صفراً، فإن المتجهين متعامدان. ويمكن إيجاد قياس الزاوية $\theta$ بينهما من العلاقة: $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$.

ثانياً، الضرب الاتجاهي يعطي متجهاً وليس عدداً، ويُكتب بالرمز $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. نحسبه باستخدام محددة المصفوفة بالصف الأول متجهات الوحدة $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$، وفي الصف الثاني إحداثيات $\mathbf{a}$، وفي الصف الثالث إحداثيات $\mathbf{b}$. المتجه الناتج يكون عمودياً على كل من $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$.

ثالثاً، مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعهما المتجاوران $\mathbf{u}$ و$\mathbf{v}$ تساوي طول الضرب الاتجاهي $|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|$. وأما الضرب القياسي الثلاثي لثلاثة أحرف متجاورة $\mathbf{t}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ فيساوي محددة من الرتبة $3 \times 3$ وقيمته المطلقة تمثل حجم متوازي السطوح.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين $\mathbf{u} = \langle 3, -3, 3 \rangle$ و$\mathbf{v} = \langle 4, 7, 3 \rangle$. الخطوة ١: نكون محددة المصفوفة. $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -3 & 3 \\ 4 & 7 & 3 \end{vmatrix}$ الخطوة ٢: نفكك المحدد باستخدام محددات الدرجة الثانية. $= \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} \mathbf{i} - \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \mathbf{j} + \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \mathbf{k}$ الخطوة ٣: نحسب قيم المحددات الفرعية. $= [(-3)(3) - (3)(7)]\mathbf{i} - [(3)(3) - (3)(4)]\mathbf{j} + [(3)(7) - (-3)(4)]\mathbf{k}$ $= (-9 - 21)\mathbf{i} - (9 - 12)\mathbf{j} + (21 - (-12))\mathbf{k}$ $= -30\mathbf{i} - (-3)\mathbf{j} + 33\mathbf{k}$ الخطوة ٤: نكتب الصورة الإحداثية. $= \langle -30, 3, 33 \rangle$

أخطاء شائعة

• الخلط بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي؛ فالضرب الداخلي يعطي عدداً، بينما الضرب الاتجاهي يعطي متجهاً.
• نسيان الإشارة السساليب (السالبة) في الحد الأوسط عند فك مصفوفة الضرب الاتجاهي والذي يسبقه رمز $\mathbf{j}$.
• الاعتقاد أن الضرب الاتجاهي معرف في المستوى الثنائي الأبعاد، بينما هو خاص بنظام الإبعاد الثلاثي فقط.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين $\mathbf{u} = \langle 3, -5, 4 \rangle$ و$\mathbf{v} = \langle 5, 7, 5 \rangle$، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا. الإجابة: الضرب الداخلي يساوي $(3)(5) + (-5)(7) + (4)(5) = 15 - 35 + 20 = 0$. وبما أن الناتج يساوي صفراً، فإن المتجهين متعامدان.

السؤال الثاني: أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه $\mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$ و$\mathbf{v} = \mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ ضلعان متجاوران. الإجابة: أولاً نحسب $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, -9, -14 \rangle$، ثم نحسب طول المتجه الناتج وهو الجذور التربيعية لمجموع مربعات إحداثياته: $\sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 + (-14)^2} = \sqrt{286} \approx 16.91$ وحدة مربعة تقريباً.