المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد

يقوم هذا الدرس على توسيع مفاهيم المتجهات والإحداثيات من المستوى الثنائي إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد عبر إضافة المحور الثالث z. نتعلم في هذا الدرس كيفية تعيين النقاط باستخدام ثلاثيات مرتبة (x, y, z)، وحساب المسافة بين نقطتين، وإيجاد إحداثيات نقطة المنتصف. كما يغطي الدرس كتابة المتجهات في الفضاء بالصورة الإحداثية أو بدلالة متجهات الوحدة القياسية i, j, k، وإجراء العمليات عليها كالجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي، بالإضافة إلى إيجاد طول المتجر ومتجه الوحدة باتجاهه. فمثلاً، لإيجاد المسافة بين نقطتين A($x_{1}$, $y_{1}$, $z_{1}$) وB($x_{2}$, $y_{2}$, $z_{2}$)، نستخدم القانون الجذري الذي يجمع مربعات فروق الإحداثيات الثلاثة.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على الانتقال من دراسة الإحداثيات والمتجهات في المستوى الثنائي الأبعاد إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد من خلال إضافة محور ثالث متعامد هو المحور z، مما يتطلب استخدام ثلاثيات مرتبة (x, y, z) لتحديد المواقع وإجراء العمليات الجبرية والهندسية على المتجهات.

الشرح

نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد يتكون من ثلاثة محاور متعامدة هي المحور x والمحور y والمحور z، وتتقاطع في نقطة الأصل O. تعين أي نقطة في الفضاء بواسطة ثلاثي مرتب (x, y, z). لإيجاد المسافة بين نقطتين $A(x_1, y_1, z_1)$ و$B(x_2, y_2, z_2)$ في الفضاء، نستخدم الصيغة: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ ولإيجاد إحداثيات نقطة المنتصف M بينهما، نستخدم الصيغة: $M = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2})$ أما المتجه في الفضاء فيكتب بالصورة الإحداثية $\langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ أو بدلالة متجهات الوحدة القياسية $i, j, k$ بالصورة: $v_1i + v_2j + v_3k$ حيث $i = \langle 1, 0, 0 \rangle$ و$j = \langle 0, 1, 0 \rangle$ و$k = \langle 0, 0, 1 \rangle$. تجرى عمليات الجمع والطرح وضرب المتجه في عدد حقيقي عن طريق تنفيذ العملية على كل إحداثي على حدة. طول المتجه $\vec{AB} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ يحسب بالقانون: $|\vec{AB}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ ومتجه الوحدة $u$ باتجاه $\vec{AB}$ يساوي المتجه مقسوماً على طوله: $u = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد الصورة الإحداثية وطول المتجه $\vec{AB}$ الذي نقطة بدايته $A(-2, -4, 5)$ ونهايته $B(3, 1, -2)$. الخطوة الأولى: إيجاد الصورة الإحداثية بطرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية. $\vec{AB} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle$ $\vec{AB} = \langle 3 - (-2), 1 - (-4), -2 - 5 \rangle$ $\vec{AB} = \langle 5, 5, -7 \rangle$ الخطوة الثانية: إيجاد طول المتجه باستخدام قانون الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات. $|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-7)^2}$ $|\vec{AB}| = \sqrt{25 + 25 + 49}$ $|\vec{AB}| = \sqrt{99}$

أخطاء شائعة

• الخلط في ترتيب إحداثيات نقطة البداية والنهاية عند حساب الصورة الإحداثية للمتجه، بطرح إحداثيات النهاية من البداية بدلاً من العكس.
• نسيان كتابة إحداثي المحور z أو وضعه في غير مكانه الصحيح في الثلاثي المرتب.
• إهمال وضع القيمة السالبة داخل أقواس التربيع عند حساب طول المتجه أو المسافة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: عيّن إحداثيات نقطة المنتصف بين النقطتين $(1, 2, 3)$ و$(3, 4, 5)$. الإجابة: $(2, 3, 4)$ السؤال الثاني: أوجد ناتج جمع المتجهين $\langle 1, -2, 3 \rangle$ و$\langle 4, 5, -1 \rangle$. الإجابة: $\langle 5, 3, 2 \rangle$