الضرب الداخلي

يقوم الضرب الداخلي على إيجاد قيمة حقيقية من ضرب متجهين معا بضرب المركبة الأولى في الأولى والثانية في الثانية ثم جمع الناتجين. يرمز له بالرمز a. b ويسمى أحيانا الضرب القياسي. تفيد هذه العملية في معرفة ما إذا كان المتجهان متعامدين بحيث يكون حاصل ضربهما صفرا، أو في إيجاد الزاوية الواقعة بينهما، وكذلك حساب الشغل المبذول في الفيزياء بقانون W = F. AB. فمثلا لو كان لدينا المتجهان a = ❨3, 6❩ و b = ❨-4, 2❩ فإن ضربهما الداخلي يكون 3(-4) + 6(2) = -12 + 12 = 0، مما يعني أنهما متعامدان لأن الناتج يساوي صفرا.

الفكرة الأساسية

الضرب الداخلي عملية على المتجهين تعطي عددا حقيقيا وليس متجها جديدا. نضرب المركبة الأولى للمتجه الأول في المركبة الأولى للمتجه الثاني، ونضيف إليها حاصل ضرب المركبتين الثانية معا. تستعمل هذه العملية لمعرفة تعامد المتجهين أو إيجاد الزاوية بينهما أو حساب الشغل في الفيزياء.

الشرح

خذ متجهين في المستوى الإحداثي على الصورة a = ❨$a_{1}$, $a_{2}$❩ و b = ❨$b_{1}$, $b_{2}$❩. لكي توجد الضرب الداخلي بينهما، اكتب القاعدة الأساسية: a ∙ $b = a_{1}$ $b_{1} + a_{2}$ $b_{2}$ لاحظ أن النتيجة عدد حقيقي. إذا كان هذا العدد يساوي صفرا وكان المتجهان غير صفريين، فهذا يعني أن المتجهين متعامدان. أما إذا أردت إيجاد قياس الزاوية ̂ʹ بين متجهين غير صفريين، فاستعمل القانون: \cos ̂ʹ = \frac{a ∙ b}{|a| |b|} حيث $|a|$ هو طول المتجه الأول و $|b|$ هو طول المتجه الثاني. وفي تطبيقات الفيزياء، لحساب الشغل W الناتج من تأثير قوة ثابتة F لتحريك جسم مسافة ممثلة بالمتجه \vec{AB}، تستعمل القانون: W = F ∙ \vec{AB}

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قياس الزاوية ̂ʹ بين المتجهين u = ❨6, 2❩ و v = ❨-4, 3❩. الخطوة الأولى: اكتب قانون جيب التمام للزاوية بين متجهين: \cos ̂ʹ = \frac{u ∙ v}{|u| |v|} الخطوة الثانية: احسب الضرب الداخلي في البسط: u ∙ v = 6(-4) + 2(3) = -24 + 6 = -18 الخطوة الثالثة: احسب طولي المتجهين في المقام: |u| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} |v| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 الخطوة الرابعة: عوض القيم في القانون: \cos ̂ʹ = \frac{-18}{\sqrt{40}(5)} = \frac{-18}{10\sqrt{10}} الخطوة الخامسة: استعمل معكوس جيب التمام لإيجاد الزاوية: ̂ʹ = \cos^{-1} \left(\frac{-18}{10\sqrt{10}}\right) \approx 125^┘

أخطاء شائعة

الخطأ الأول هو كتابة الناتج على صورة متجه بدلا من كتابته كعدد حقيقي، فالضرب الداخلي ينتج دائما عددا. الخطأ الثاني هو نسيان حساب طول أحد المتجهين أو كلاهما عند إيجاد الزاوية بينهما. الخطأ الثالث هو الاعتقاد بأن حاصل الضرب الداخلي للمتجه الصفري مع أي متجه آخر يساوي عددا غير الصفر، بينما هو دائما يساوي صفرا لكنه لا يعني التعامد.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u = ❨3, -5❩ و v = ❨6, 2❩، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. الإجابة: الضرب الداخلي يساوي 3(6) + (-5)(2) = 18 - 10 = 8. بما أن الناتج لا يساوي صفرا، إذن المتجهان غير متعامدين. السؤال الثاني: أوجد قياس الزاوية ̂ʹ بين المتجهين u = ❨3, 1❩ و v = ❨3, -3❩. الإجابة: الضرب الداخلي يساوي 3(3) + 1(-3) = 6. طول u هو \sqrt{10} وطول v هو \sqrt{18}. بالتعويض في القانون واستعمال معكوس جيب التمام تنتج الزاوية تقريباً 63 درجة.