المتجهات في المستوى الإحداثي

يقوم درس المتجهات في المستوى الإحداثي على تمثيل الكميات التي لها مقدار واتجاه بصورة إحداثية تشبه الزوج المرتب $\langle a, b \rangle$، وتتعلم فيه حساب طول المتجر بقانون المسافة، وإجراء العمليات الجبرية كالجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي، بالإضافة إلى إيجاد متجهة وحدة ومتجه التوافق الخطي باستخدام متجهي الوحدة القياسيين $i$ و $j$ وحساب زوايا الاتجاه باستخدام دالة الظل. مثال سريع: إذا كانت نقطة البداية $(2, -4)$ ونقطة النهاية $(3, -5)$، فإن الصورة الإحداثية تطرح النهاية من البداية لتصبح $\langle 3 - (-4), -5 - 2 \rangle = \langle 7, -7 \rangle$.

الفكرة الأساسية

لو كان لديك طائرة تسير في الجو وتؤثر عليها الرياح، فأنت لا تحتاج فقط لمعرفة سرعتها، بل اتجاهها أيضاً. الفكرة هنا هي تحويل هذه الكميات إلى أرقام واضحة داخل المستوى الإحداثي باستخدام الصورة الإحداثية $\langle a, b \rangle$، بحيث تمثل $a$ الإزاحة الأفقية و $b$ الإزاحة الرأسية.

الشرح

لكتابة الصورة الإحداثية لأي متجه بمعرفة نقطة بدايته $(x_1, y_1)$ ونهايته $(x_2, y_2)$، فإننا نطرح إحداثيات البداية من النهاية بالقانون $\langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle$. وطول المتجه $\mathbf{v} = \langle a, b \rangle$ يحسب بقانون مأخوذ من مسافة النقطتين وهو $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$. وعند جمع متجهين أو طرحهما، نجمع أو نطرح كل مرسلة (إحداثي) مع نظيرتها، وعند ضرب متجه في عدد حقيقي $k$ فإننا نوزع $k$ على الإحداثيين. أما متجهة الوحدة فهي متجه طوله يساوي $1$، ونحسبه بقسمة المتجه على طوله $u = \frac{1}{|\mathbf{v}|}\mathbf{v}$. ويمكن كتابة أي متجه على صورة توافق خطي باستعمال متجهي الوحدة القياسيين $i = \langle 1, 0 \rangle$ و $j = \langle 0, 1 \rangle$ ليصبح على الشكل $ai + bj$. ولإيجاد الصورة الإحداثية بمعرفة الطول وزاوية الاتجاه $\theta$ مع الأفق، نستخدم الصيغة $\mathbf{v} = \langle |\mathbf{v}| \cos\theta, |\mathbf{v}| \sin\theta \rangle$، ولإيجاد زاوية الاتجاه من الصورة الإحداثية نستخدم المعادلة $\tan\theta = \frac{b}{a}$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{AB}$ الذي نقطة بدايته $(2, -4)$ ونقطة نهايته $(3, -5)$. الخطوة الأولى: نكتب القانون للصورة الإحداثية $\vec{AB} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle$. الخطوة الثانية: نعوض بالقيم المعطاة حيث $(x_1, y_1) = (2, -4)$ و $(x_2, y_2) = (3, -5)$، لتصبح $\vec{AB} = \langle 3 - 2, -5 - (-4) \rangle$. الخطوة الثالثة: نبسط الأرقام لنحصل على الصورة الإحداثية النهائية $\langle 1, -1 \rangle$.

أخطاء شائعة

خلط الترتيب عند طرح إحداثيات نقطة البداية والنهاية، مثل طرح النهاية من البداية بدلاً من طرح البداية من النهاية. نسيان ضبط آلة الحاسبة على وضع الدرجات عند حساب زوايا الاتجاه باستخدام الدالة العكسية للظل. الخلط بين العدد التخيلي $i$ ومتجه الوحدة القياسي $i$ رغم اختلاف طريقة الكتابة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد الصورة الإحداثية للمتجه الذي نقطة بدايته $(-2, -7)$ ونهايته $(6, 1)$. الإجابة: $\langle 8, 8 \rangle$. السؤال الثاني: أوجد طول المتجه $\mathbf{v} = \langle -3, 4 \rangle$. الإجابة: $5$.