مقدمة في المتجهات

يقوم درس مقدمة في المتجهات على دراسة الكميات التي تتطلب معرفة مقدارها واتجاهها معاً، بخلاف الكميات القياسية التي تعتمد على المقدار فقط. يتم تمثيل المتجه هندسياً بقطعة مستقيم مسها سهم، وله نقطة بداية ونهاية. يوضح الدرس كيفية جمع المتجهات هندسياً باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي الأضلاع، وكيفية ضرب المتجه في عدد حقيقي لتغيير طوله أو عكس اتجاهه. كما يتناول تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين أفقية ورأسية باستخدام الدوال المثلثية. على سبيل المثال، إذا دفعت عربة بقوة مقدارها $450\text{ N}$ وبزاوية قياسها $56^{\circ}$ مع سطح الأرض، فإنك تحلل هذه القوة إلى مركبة أفقية مقدارها $|x| = 450 \cos 56^{\circ}$ ومركبة رأسية مقدارها $|y| = 450 \sin 56^{\circ}$.

الفكرة الأساسية

الكمية القياسية هي كمية لها مقدار فقط مثل المسافة أو الكتلة، أما الكمية المتجهة فلها مقدار واتجاه معاً مثل السرعة المتجهة والقوة. يدرس هذا الدرس كيفية التعامل مع هذه المتجهات هندسياً وحسابياً من جمع وطرح وضرب في عدد حقيقي وتحليل إلى مركبتين.

الشرح

يمثل المتجه هندسياً بقطعة مستقيم موجهة لها طول يمثل المقدار، وسهم يحدد الاتجاه. يرمز للمتجه بحرف فوقه سهم مثل $\vec{a}$ أو بحرفين مثل $\overrightarrow{AB}$ حيث $A$ هي نقطة البداية و$B$ هي نقطة النهاية. يسمى طول المتجه بالمقدار ويرمز له بالرمز $|\vec{a}|$. لجمع متجهين $\vec{a}$ و$\vec{b}$ هندسياً، نستعمل إحدى طريقتين:

1. قاعدة المثلث: نرسم المتجه $\vec{b}$ بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه $\vec{a}$، تكون المحصلة هي المتجه الواصل من بداية $\vec{a}$ إلى نهاية $\vec{b}$.
2. قاعدة متوازي الأضلاع: نرسم المتجهين من نفس نقطة البداية، ثم نكمل الشكل إلى متوازي أضلاع، وتكون المحصلة هي القطر الخارج من تلك النقطة. عند ضرب المتجه $\vec{v}$ في عدد حقيقي $k$، فإن طول المتجه الجديد يصبح $|k||\vec{v}|$، ويكون في نفس اتجاه $\vec{v}$ إذا كان $k > 0$، وفي عكس اتجاهه إذا كان $k < 0$. لتحليل أي متجة إلى مركبتين متعامدتين أفقية $\vec{x}$ ورأسية $\vec{y}$ تصنعان زاوية $\theta$ مع الأفق، نستعمل النسب المثلثية: $|x| = |v| \cos \theta$ $|y| = |v| \sin \theta$

مثال محلول خطوة بخطوة

السؤال: يدفع علي عربة قص العشب بقوة مقدارها $450\text{ N}$، وبزاوية قياسها $56^{\circ}$ مع سطح الأرض. أجد مقدار كل من المركبتين الأفقية والرأسية للقوة. الخطوة الأولى: نكتب قانتي المركبة الأفقية والرأسية بناء على مثلث قائم الزاوية. $|x| = |v| \cos \theta$ $|y| = |v| \sin \theta$ الخطوة الثانية: نعوض بقيمة القوة $450$ والزاوية $56^{\circ}$. $|x| = 450 \cos 56^{\circ}$ $|y| = 450 \sin 56^{\circ}$ الخطوة الثالثة: نحسب الناتج باستخدام الآلة الحاسبة. $|x| \approx 252\text{ N}$ $|y| \approx 373\text{ N}$

أخطاء شائعة

• الخلط بين طول المتجه والمسافة المقطوعة؛ فطول المتجه يمثل مقدار كمية متجهة عند نقطة زمنية ولا يعبر بالضرورة عن إجمالي المسافة التي قطعها الجسم.
• الخطأ في تحديد اتجاه زاوية المحصلة؛ إذ يجب دائماً قياس الزاوية بابتداء من الاتجاه الموجب للأفق أو من الشمال حسب نوع الاتجاه الحقيقي أو الربعي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: طارت طائرة لعبة بسرعة مقدارها $48\text{ ft/s}$ وبزاوية قياسها $32^{\circ}$ مع الأفق. أجد مقدار المركبة الأفقية للسرعة. الإجابة: $|x| = 48 \cos 32^{\circ} \approx 40.7\text{ ft/s}$. السؤال الثاني: إذا كان المتجه $\vec{v}$ طوله $20$ وصنع زاوية $30^{\circ}$ مع الاتجاه الموجب للمحور $x$، فما مقدار المركبة الرأسية له؟ الإجابة: $|y| = 20 \sin 30^{\circ} = 10$.