القطوع الزائدة

القطع الزائد هو المحل الهندسي لجميع النقاط في المستوى التي يكون الفرق المطلق بين بعديها عن نقطتين ثابتتين تسمى البؤرتين مساوياً لمقدار ثابت. تتكون معادلته القياسية لمحتوى أفقي من الصورة $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$، حيث $(h, k)$ هو المركز، والمسافة بين المركز والرأس هي $a$، والمسافة بين المركز والبؤرة هي $c$، وترتبط الأبعاد بالمعلاقة $c^2 = a^2 + b^2$. وللتمثيل البياني خطان تقاربي يمران بالمركز. على سبيل المثال، لتكن المعادلة $\frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1$، فإن المركز هو $(-1, -2)$، و$a=3$ و$b=4$ و$c=5$.

الفكرة الأساسية

القطع الزائد هو المحل الهندسي لجميع النقاط في المستوى والتي يكون الفرق المطلق بين بعديها عن نقطتين ثابتتين تسمى البؤرتين مساوياً لمقدار ثابت، وهو $2a$. يتكون منحنى القطع الزائد من فرعين منفصلين يحاذيان خطين تقاربيين، وله مركز ورأسان وبؤرتان.

الشرح

انظر إلى معادلتي القطع الزائد القياسيتين: إن كان المحور القاطع أفقياً، فالصورة هي $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$. وإن كان المحور القاطع رأسياً، فالصورة هي $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$. الرمز $(h, k)$ يمثل إحداثيي المركز. والمسافة بين المركز والرأس هي $a$، وطول المحور القاطع يساوي $2a$. أما المسافة بين المركز والبؤرة فهي $c$، وطول المحور المرافق يساوي $2b$. العلاقة التي تربط هذه الأبعاد هي $c^2 = a^2 + b^2$. إذن $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. ولاحظ دائماً في القطع الزائد أن $c$ هي الأكبر لأنها تمثل الوتر في المثلث المرتبط بأبعاد القطع. خطا التقارب للمحور الأفقي معادلتهما $y-k = \pm \frac{b}{a}(x-h)$، وللمحور الراسي معادلتهما $y-k = \pm \frac{a}{b}(x-h)$. الاختلاف المركزي يُحسب بالصيغة $e = \frac{c}{a}$ وقيمته دائماً أكبر من $1$.

مثال محلول خطوة بخطوة

حدد خصائص القطع الزائد الذي معادلته $\frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1$ ثم مثل منحناه بيانيا. الخطوة الأولى: تحديد المركز $(h, k)$ من المعادلة. من القوس المرتبط بـ $x$ نجد $h = -1$، ومن القوس المرتبط بـ $y$ نجد $k = -2$. إذن المركز هو $(-1, -2)$. الخطوة الثانية: تحديد قيم $a$ و $b$ و $c$. المقام تحت حد $x$ هو $9$ إذن $a^2 = 9$ ومنها $a = 3$. المقام تحت حد $y$ هو $16$ إذن ب تربيع يساوي $16$ ومنها $b = 4$. لحساب $c$ نطبق العلاقة $c^2 = a^2 + b^2$ إذن $c^2 = 9 + 16 = 25$ ومنها $c = 5$. الخطوة الثالثة: تحديد الاتجاه. بما أن الحد الذي يحتوي على $x$ هو المطروح منه، فال اتجاه أفقي. الخطوة الرابعة: إيجاد الرأسان والبؤرتان وخطا التقارب. الرأسان هما $(h \pm a, k)$ أي $(-1 \pm 3, -2)$ وتساوي $(2, -2)$ و$(-4, -2)$. البؤرتان هما $(h \pm c, k)$ أي $(-1 \pm 5, -2)$ وتساوي $(4, -2)$ و$(-6, -2)$. خطا التقارب هما $y - (-2) = \pm \frac{4}{3}(x - (-1))$ وتصبح المعادلتان $y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}$ و $y = -\frac{4}{3}x - \frac{10}{3}$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول: الخلط بين علاقة الأبعاد في القطع الناقص والقطع الزائد؛ ففي القطع الناقص العلاقة هي $c^2 = a^2 - b^2$ بينما في القطع الزائد العلاقة هي $c^2 = a^2 + b^2$. الخطأ الثاني: الاعتقاد بأن $a$ هي دائماً المقدر الأكبر كما في القطع الناقص، بينما في القطع الزائد $a$ هي مقام الحد الموجب (المطروح منه)، و$c$ هي الأكبر دائماً لأنها الوتر.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد اتجاه ومركز ورأسي القطع الزائد الذي معادلته $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$. الإجابة: الاتجاه أفقي، المركز هو $(0, 0)، والرأسان هما$(-2, 0)$و$(2, 0)$. السؤال الثاني: حدد الاختلاف المركزي للقطع الزائد الذي معادلته $\frac{(x+8)^2}{64} - \frac{(y-4)^2}{80} = 1$. الإجابة: هنا $a^2 = 64$ إذن $a = 8$، و$b^2 = 80$. إذن $c^2 = 64 + 80 = 144$ ومنها $c = 12$. الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} = \frac{12}{8} = 1.5$.