صفحة ١٨٠
انظر إلى الشكل العلوي لتدرك كيف يدور كوكب عطارد في مدار إهليلجي حول الشمس. القطع الناقص هو المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المستوى التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين، تسمى البؤرتين، مقداره ثابتاً. تأمل الرسم حيث مجموع المسافتين يساوي دائماً المجموع نفسه لأي نقطة على المنحنى. انظر إلى الرسوم والمسميات: المحور الأكبر الذي يحوي البؤرتين، والمحور الأصغر المعامد له، والمركز الذي يقع في منتصف المسافة بين الرأسين. تأمل البرهان الرياضي في أسفل الصفحة، حيث نربط بين الأطوال الثلاثة و و باستخدام مسملة التطابق وعلاقة فيثاغورس، لتصل إلى أن طول المحور الأكبر يساوي ، والمسافة بين البؤرتين هي ، ومربع نصف المحور الأصغر يساوي مربع نصف المحور الأكبر مطروحاً منه مربع البعد البؤري، أي .
صفحة ١٨١
خذ النقطة الواقعة على منحنى القطع الناقص الذي مركزه ومحوره الأكبر أفقي. المسافة بين أي نقطة على المنحنى والبؤرتين تساوي مقداراً ثابتاً هو ، أي . طبق صيغة المسافة بين نقطتين لجذر مربعات الإحداثيات، ثم ربع الطرفين وبسط المعادلة بخطوات جبرية متتالية كاستخدام خاصية التوزيع وفك المربعات الكاملة حتى تصل إلى الصورة القياسية للقطع الناقص الأفقي وهي حيث . أما لو كان المحور الأكبر رأسياً، فستتبادل الأماكن ليصبح المقام الأكبر تحت إحداثي فتكون المعادلة . انظر إلى جدول مفهوم أساسي في وسط الصفحة لتلخيص خصائص القطع الناقص بنوعيه الأفقي والرأسي من مركز ورؤوس وبؤرتان ومحاور وطول البعد البؤري والعلاقة بين المتغيرات الثلاثة.
صفحة ١٨٢
انظر إلى المثال الأول. أمامك معادلة قطع ناقص مكتوبة بالصورة القياسية . بما أن المقام الأكبر تحت القوس الذي يضم ، فهذا يعني أن المحور الأكبر أفقي. استخرج المركز ليصبح ، وخذ جذر المقام الأكبر لتجد ، وجذر المقام الأصغر لتجد . احسب قيمة من العلاقة لتجدها . طبق هذه القيم لتحديد البؤرتين والرأسين والمرافقين وطولي المحورين كما هو موضح في الجدول والتمثيل البياني المجاور. في الفقرة الفرعية الثانية، انظر كيف تحول المعادلة العامة إلى القياسية بإتمام المربع لكل من المتغيرين و ، ثم قسمة الطرفين على العدد الناتج للحصول على الواحد في الطرف الأيمن.
صفحة ١٨٣
انظر إلى المثال الثاني. المطلوب كتابة معادلة القطع الناقص بمعلومية بعض خصائصه. في الفقرة الأولى، أُعطيت رأسين ومرافقين. حدد الإحداثيات المتساوية لتعلم أن المحور الأكبر رأسي لأن الإحداثي للنهايتين متساوية. أوجد المركز باستخدام صيغة نقطة المنتصف بين الرأسين، ثم احسب نصف طول المحور الأكبر ونصف طول المحور الأصغر باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين. وفي الفقرة الثانية، أُعطيت الرأسين والبؤرتين. احسب المسافة بين الرأسين لتجد ومنها ، واحسب المسافة بين البؤرتين لتجد ومنها . استخدم العلاقة الرياضية المربتوة بين الثوابت الثلاثة لتستخرج قيمة ، ثم اكتب المعادلة بالصورة القياسية المناسبة لاتجاه المحور الأكبر. تأمل مفهوم الاختلاف المركزي في أسفل الصفحة، حيث يُعطى بالعلاقة ، وهو يحدد مدى اتساع القطع الناقص.
صفحة ١٨٤
تأمل الرسومات العلوية لتفهم كيف يؤثر الاختلاف المركزي في شكل القطع الناقص. عندما تقترب بؤرتا القطع من مركزه لتصبح القيمة قريبة من الصفر، يتحول القطع تدريجياً إلى دائرة لأن تصبح مساوية لـ . انظر إلى المثال الثالث لتحديد الاختلاف المركزي للقطع الناقص المعطى بمعادلته؛ ابدأ بحساب قيمة من العلاقة ، ثم اقسم الناتجة على لتجد قيمة التقريبية. في مثال واقع الحياة، انظر إلى تطبيق الاختلاف المركزي على مقطع عرضي لعين بشرية، حيث يعطى الاختلاف المركزي وعمق العين مليمتر، والمطلوب إيجاد الارتفاع التقريبي. طبق قانون الاختلاف المركزي لإيجاد ، ثم احسب من علاقة الجذور لتصل إلى ارتفاع العين المطلوب بدقة.
صفحة ١٨٥
انظر إلى أعلى الصفحة لتر كيف ترتبط معادلة الدائرة بمعادلة القطع الناقص. عندما يتساوى طولا المحورين، أي عندما يصبح ， فإن الاختلاف المركزي يصبح صفراً وتتطابق البؤرتان مع المركز، فتصبح المعادلة بالصورة . اضرب طرفي المعادلة في لتصل إلى الصورة القياسية لمعادلة الدائرة وهي حيث هو نصف قطر الدائرة. تأمل المثال الخامس، حيث يُطلب كتابة معادلة دائرة مركزها ونصف قطرها ، فما عليك سوى التعويض المباشر بالصيغة القياسية. أما في المثال السادس، فأُعطيت طرفي قطر الدائرة، وعليك أولاً إيجاد المركز باستخدام قانون نقطة المنتصف للإحداثيات المعطاة، ثم إيجاد طول نصف القطر بتطبيق صيغة المسافة بين نقطتين، وأخيراً تعويض الإحداثيات ونصف القطر المربع في الصورة القياسية.
صفحة ١٨٦
هذه صفحة تدريبات وحل مسائل شاملة للدروس السابقة. في التمارين من إلى ، طُلب تحديد خصائص القطع الناقص وتمثيله بيانيا بمعادلته القياسية. في التمارين من إلى ، عليك عكس العملية وكتابة معادلة القطع الناقص بناء على الخصائص المعطاة كالرأسين والبؤرتين والمرافقين وأطوال المحاور. في التمارين من إلى ، حدد الاختلاف المركزي لكل قطع ناقص بمعادلته المعطاة. انظر إلى مسألة السباق رقم ، فهي تطبيق حياتي لمضمار سباق على شكل قطع ناقص؛ انظر إلى الرسم واعرف أقصى عرض لتحدد طول المحور الأصغر أو الأكبر، ثم أجب عن الفروع الثلاثة برسم المقطع وكتابة المعادلة وحساب الاختلاف المركزي. وفي التمارين الأخرى، طُلب إيجاد معادلات الدوائر بمعلومية مراكزها وأنصاف أقطارها أو أطراف أقطارها.
صفحة ١٨٧
تضم هذه الصفحة مجموعة من المسائل المتنوعة. في مسألة الوتر البؤري رقم ، انظر إلى الرسم المرفق الذي يوضح القطعة المستقيمة التي تمر بإحدى البؤرتين وتعامد المحور الأكبر، وطولها يُحسب بالمعاملات المحددة. في قسم مراجعة تراكمية، حلل خصائص القطع المكافئ، واوجد تقاطع المستقيمات، وأوجد الدوائر التي تمر بنقاط معينة. انظر إلى مسألة التفكير العليا رقم (اكتشف الخطأ)، حيث مثل كل من خالد وياسر بيانياً قطعاً ناقصاً مركزه وبمحور أكبر طوله ومحور أصغر طوله ؛ دقق في الرسمين واعرف أيهما رسم الاتجاه الصحيح للمحاور بناء على الإحداثيات. وفي قسم تدريب على اختبار، أجب عن الأسئلة الاختيارية المتعلقة بمسافة النقاط من الدوائر، ومساحة القطع الناقص المحاط بصيغة ، وحل معادلات أبعاد لوحة السهام.
صفحة ١٨٨
هذه صفحة اختبار منتصف الفصل للدروس السابقة. في التمرينين الأول والثاني، اكتب معادلة القطعين المكافئين بمعلومية خصائصهما أو من خلال المنحنيات المعطاة بيانيا في الأشكال المجاورة. في التمرين الثالث، حدد أي القطع المكافئة الممثلة بيانياً له بُعد عن الرأس هو الأكبر. في التمرين الرابع، صمم معادلة قطع مكافئ تمثل شكل سلك تثبيت الجسر في الرسم المرفق. في التمرينين الخامس والسادس، مثّل منحنى القطع الناقص المعطى بمعادلته القياسية. في التمارين من السابع إلى العاشر، اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق خصائص معينة كالبؤرتين والرأسين وطول المحور الأصغر. انظر إلى مسألة السباحة رقم لتكتب معادلة بركة سباحة على شكل قطع ناقص طوله متراً واختلافه المركزي ، ثم أجب عن عرضها ومعادلتها بناء على نقطة الأصل.
