تحديد أنواع القطوع المخروطية

الدرس ٢٣ من ٢٣الرياضيات ٣صفحات ١٩٨–٢٠٤

صفحة ١٩٨

صفحة ١ من ٧

صفحة ١٩٨

انظر إلى فقرة لماذا: تدور الكواكب في مدارات على شكل قطع ناقص، وتنطلق المذنبات في مسارات قد تكون قطعاً مكافئاً أو ناقصاً أو زائداً. الصورة العامة لمعادلات القطوع المخروطية هي $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ بشرط ألا تساوي $A, B, C$ جميعها أصفاراً. انظر إلى مثال واحد الفرع a: المعطى هو المعادلة $16x^2 - 25y^2 - 128x - 144 = 0$ . لفهم كيف نكتبها على الصورة القياسية، نأخذ حدود س وحدها وحدود ص وحدها، ثم نُكمل المربع لـس. أضفنا $16$ داخل القوس وضربناها في $16$ خارج القوس لتتوازن المعادلة، فأصبح لدينا $16(x - 4)^2 - 25y^2 = 400$ . بقسمة كل حد على $400$ تصبح المعادلة على صورة القطع الزائد $\frac{(x - 4)^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ ومركزها النقطة $(4, 0)$ . انظر إلى الفرع b: المعادلة هي $x^2 + 4y^2 - 6x - 7 = 0$ . نجمع حدود س معاً ونكمل المربع بإضافة $9$ للطرفين، فتصبح المعادلة $(x - 3)^2 + 4y^2 = 16$ . بقسمة الطرفين على $16$ نصل إلى صورة القطع الناقص $\frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ ومركزها $(3, 0)$ . انظر إلى سؤال تحقق من فهمك: اكتب المعادلة المعطاة على الصورة القياسية وحدد نوع القطع باتباع نفس خطوات إكمال المربع.

صفحة ١٩٩

انظر إلى جدول مفهوم أساسي لتصنيف القطوع المخروطية باستخدام المميز $B^2 - 4AC$ . إذا كان المميز يساوي صفراً أي $(4, 0)$ فالقطع مكافئ. وإذا كان أصغر من الصفر و $A \neq C$ أو $B \neq 0$ فالقطع ناقص. أما إذا كان أصغر من الصفر و $B = 0$ و $A = C$ فهي دائرة. وإذا كان المميز أكبر من الصفر أي $B^2 - 4AC > 0$ فالقطع زائد. انظر إلى مثال اثنان الفرع a: المعادلة هي $y^2 + 4x^2 - 3xy + 4x - 5y - 8 = 0$ . المعاملات هي $A = 4$ و $B = -3$ و $C = 1$ . نحسب المميز فيكون $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ . بما أن المميز أصغر من الصفر و $B \neq 0$ فالقطع ناقص. انظر إلى الفرع b: المعاملات هي $A = 3$ و $B = 2$ و $C = -5$ . المميز يساوي $2^2 - 4(3)(-5) = 64$ . وبما أنه أكبر من الصفر فالقطع زائد. انظر إلى الفرع c: المعاملات هي $A = 0$ و $B = 0$ و $C = 4$ . المميز يساوي $0^2 - 4(0)(4) = 0$ . وبما أنه يساوي صفراً فالقطع مكافئ. انظر إلى تدريبات تحقق من فهمك: حدد نوع القطع لكل معادلة بحساب المميز مباشرة دون الحاجة لتحويلها للصورة القياسية.

صفحة ٢٠٠

انظر إلى تدرب وحل المسائل في أعلى الصفحة. المسائل من 1 إلى 4 تطلب منك كتابة كل معادلة على الصورة القياسية ثم تحديد نوع القطع المخروطي الذي تمثله كما رأينا في المثال الأول. المسائل من 5 إلى 11 تطلب تحديد نوع القطع المخروطي مباشرة دون كتابتها على الصورة القياسية وذلك بحساب المميز كما في المثال الثاني. انظر إلى المسألة رقم 12 الخاصة بالطيران: لدينا معادلة مسار طائرة نفثية وهي $16x^2 - 90x + y - 0.25 = 0$ وتدريباتها الفرعية تطلب تحديد شكل منحنى القطع، وإيجاد المسافة الأفقية عند الصعد، وأقصى ارتفاع تصل إليه الطائرة بالتفكير في خصائص هذه المعادلة. انظر إلى المسألة رقم 20 تمثيلات متعددة: إذا افترضنا أن مركز قطع ناقص هو $(-2, -3)$ وأحد رأسيه $(-2, -1)$ وأحد الرأسين المرافقين $(-4, 3)$ ، فالمطلوب إيجاد الصورة القياسية لمعادلته جبرياً ثم تمثيله بيانياً على المستوى الإحداثي.

صفحة ٢٠١

انظر إلى قسم مسائل مهارات التفكير العليا في أعلى الصفحة. المسألة 21 تبرير تتطلب تحديد ما إذا كانت عبارة معينة صحيحة دائماً أو أحياناً أو غير صحيحة أبداً بناء على تعريفات القطوع المخروطية والمميز. المسألة 22 مسألة مفتوحة تطلب كتابة معادلة على الصورة العامة بحيث يكون $A = 9C$ وتُمثل قطعاً مكافئاً. المسألة 23 طلب كتابة أوجه الشبه والاختلاف بين منحنيات القطوع المخروطية ومعادلاتها. انظر إلى قسم مراجعة تراكمية: المسألة 24 تطلب إيجاد الرأسين والبوورتين ومعادلي خطي التقارب للقطع الزائد الذي معادلته $\frac{y^2}{225} - \frac{x^2}{400} = 1$ ثم تمثيله بيانياً. المسائل من 25 إلى 27 تطلب تحديد خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته ثم تمثيله بيانياً. المسألة 28 فلك: لدينا أقرب مسافة بين الشمس والأرض تساوي $91.8$ مليون ميل وأبعد مسافة $94.9$ مليون ميل، والمطلوب كتابة معادلة تمثل مدار الأرض حول الشمس باعتبار مركز المدار هو نقطة الأصل والشمس تقع على المحور س.

صفحة ٢٠٢

انظر إلى عنوان معمل الحاسبة البيانية: أنظمة المعادلات والمتباينات غير الخطية. الهدف هو استعمل الحاسبة البيانية لتقريب حلول أنظمة معادلات ومتباينات غير خطية. انظر إلى نشاط 1: حل نظام معادلات غير خطية بيانياً. لدينا النظام المكون من المعادلتين $x^2 + y^2 = 13$ و $xy + 6 = 0$ . لحل هاتين المعادلتين بيانياً باستخدام الحاسبة البيانية، اضغط على مفتاح تشغيل ثم اختر صفحة إدخال وتحرير الرسم البياني. اكتب المعادلة الأولى ثم اضغط انتر، ثم اضغط على زر تَب واكتب المعادلة الثانية ثم اضغط انتر ليظهر التمثيل البياني للثانية أيضاً. لإيجاد نقاط التقاطع، استعمل ميزة نقاط التقاطع بإيقاف المؤشر عند كل نقطة تقاطع لتظهر لك الإحداثيات الأربعة للحل وهي $(-3, 2)$ و $(3, -2)$ و $(-2, 3)$ و $(2, -3)$ . انظر إلى التمارين في أسفل الصفحة: طُلب حل كل نظام معادلات فيما يأتي بيانياً إلى أقرب جزء من عشرة، والمسألة 7 تحدٍ تتحدث عن جناح في منزل يحتوي على غرفتي معيشتين وغرفتي نوم.

صفحة ٢٠٣

انظر إلى نشاط 2: حل نظام متباينات غير خطية بيانياً. لدينا نظام المتباينات $x^2 + y^2 \leq 36$ و $y - x^2 > 0$ . الخطوة الأولى تطلب كتابة كل متباينة بدلالة ص لتصبح على صورة $y \leq \sqrt{36 - x^2}$ والأخرى $y > x^2$ . الخطوة الثانية تفتح الحاسبة البيانية وتختار مستنداً جديداً ثم إضافة تطبيق الرسوم البيانية. الخطوة الثالثة تكتب المتباينة الأولى $y > x^2$ بالضغط على مفتاح الحذف لاختيار رمز التباين المناسب ثم كتابة المتباينة والضغط على انتر. الخطوة الرابعة تكتب المتباينة الثانية $y \leq \sqrt{36 - x^2}$ بنفس الطريقة تماماً. لاحظ أن منطقة الحل هي المنطقة الناتجة عن تقاطع مناطق التظليل والتي تحوي النقاط التي تحقق النظام جميعها. انظر إلى إرشادات تقنية على الجانب الأيمن لتوضيح تدريج المحاور وتغيير لون التظليل على الحاسبة البيانية لتتمكن من رؤية منطقة الحل بوضوح تام. وفي أسفل الصفحة تمارين تطلب حل كل نظام متباينات بيانياً بنفس الخطوات.

صفحة ٢٠٤

دليلك الدراسي والمراجعة للفصل الرابع وعرض لأهم المفردات والمفاهيم الأساسية للقطوع المخروطية.

يمكنك تحديد نوع القطع المخروطى من معادلته العامة $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ دون الحاجة لتحويلها إلى الصورة القياسية، وذلك باستخدام المميز $B^2 - 4AC$ . إذا كان المميز يساوي صفراً، فالقطع مكافئ. وإذا كان أصغر من صفراً وكان $B = 0$ و $A = C$ ، فهي دائرة، بينما إذا كان $A \neq C$ أو $B \neq 0$ فهو قطع ناقص. وإذا كان المميز أكبر من صفرا، فالقطع زائد. على سبيل المثال، في المعادلة $3x^2 - 6x + 4y - 5y^2 + 2xy - 4 = 0$ ، نجد أن $A = 3$ و $B = 2$ و $C = -5$ ، وبحساب المميز $2^2 - 4(3)(-5) = 64$ ، وبما أنه أكبر من الصفر، فإن المعادلة تمثل قطعاً زائداً.

الفكرة الأساسية

تستطيع معرفة نوع القطع المخروطى مباشرة من معادلته العامة دون مضيعة وقت في تحويلها إلى الصورة القياسية، ويسعفك في ذلك مقدار يسمى المميز.

الشرح

انظر إلى الصورة العامة لمعادلة القطع المخروطى: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ . حتى تحدد نوع القطع، استخرج معاملات المتغيرات المربعة والمختلطة وهي $A$ و $B$ و $C$ . ثم احسب المميز بالقانون $B^2 - 4AC$ . قارن الناتج بالصفر وفق الجدول التالي:

إذا كان $B^2 - 4AC = 0$ ، فالقطع مكافئ.
إذا كان $B^2 - 4AC < 0$ وكان $B = 0$ مع $A = C$ ، فالشكل دائرة.
إذا كان $B^2 - 4AC < 0$ وكان $B \neq 0$ أو $A \neq C$ ، فالقطع ناقص.
إذا كان $B^2 - 4AC > 0$ ، فالقطع زائد.

مثال محلول خطوة بخطوة

حدد نوع القطع المخروطى الذى تمثله المعادلة: $y^2 + 4x^2 - 3xy + 4x - 5y - 8 = 0$ دون كتابتها على الصورة القياسية. الخطوة الأولى: حدد قيم المعاملات $A$ و $B$ و $C$ من المعادلة. معامل $x^2$ هو $A = 4$ ، ومعامل الحد المختلط $xy$ هو $B = -3$ ، ومعامل $y^2$ هو $C = 1$ . الخطوة الثانية: طبق قانون المميز $B^2 - 4AC$ . عوض بالأرقام: $(-3)^2 - 4(4)(1)$ . الخطوة الثالثة: احسب الناتج. $9 - 16 = -7$ . الخطوة الرابعة: قارن بالصفر. الناتج سالب ( $-7 < 0$ ) ومعامل $B$ لا يساوي صفرا ( $B \neq 0$ )، إذن المعادلة تمثل قطعاً ناقصاً.

أخطاء شائعة

من الخطأ الخلط بين قيم $A$ و $C$ أو نسيان ضرب معامل $B$ في نفسه وتربيعه بشكل خاطئ. تأكد دائما من ترتيب الحدود للحصول على القيم الصحيحة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما نوع القطع المخروطى الذى تمثله المعادلة $3x^2 - 6x + 4y - 5y^2 + 2xy - 4 = 0$ ؟ الإجابة: قطع زائد لأن المميز يساوي 64 وهو أكبر من الصفر. السؤال الثاني: حدد نوع القطع للمعادلة $4y^2 - 8x + 6y - 14 = 0$ . الإجابة: قطع مكافئ لأن المميز يساوي صفرا.