القطوع المكافئة

القطع المكافئ هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث يكون بعدها عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة مساوياً دائماً لبعدها عن مستقيم معلوم يسمى الدليل. نكتب معادلته القياسية بناءً على اتجاه فتحه، إما رأسياً أو أفقياً. لتحديد خصائصه مثل الرأس $(h, k)$ والبؤرة والدليل، نضع المعادلة على الصورة القياسية $(y - k)^2 = 4c(x - h)$ أو $(x - h)^2 = 4c(y - k)$. فمثلاً في المعادلة $(y + 5)^2 = 12(x - 2)$، نجد أن الرأس هو $(2, -5)$، وبما أن $4c = 12$ إذن $c = 3$، وهو مفتوح إلى اليمين، والبؤرة تبعد مسافة $c$ عن الرأس لتصبح $(-1, -5)$.

الفكرة الأساسية

القطع المكافئ هو المحل الهندسي لمجموعة نقاط في المستوي يبعد كل منها عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة مسافة تساوي دائماً بعدها عن مستقيم معلوم يسمى الدليل. الفكرة تقوم على التناظر حول محور يمر بالبؤرة وعمودي على الدليل، ويكون المنحنى مفتوحاً إما رأسياً لأعلى أو لأسفل، أو أفقياً لليمين أو لليسار.

الشرح

نكتب معادلة القطع المكافئ بالصورة القياسية لتحديد خصائصه بدقة. الصورة القياسية للقطع الأفقي هي $(y - k)^2 = 4c(x - h)$، والصورة القياسية للقطع الرأسي هي $(x - h)^2 = 4c(y - k)$. الحرفان $h$ و $k$ يمثلان إحداثيي الرأس $(h, k)$. أما الحرف $c$ فهو المسافة بين الرأس والبؤرة وبين الرأس والدليل، وطول الوتر البؤري يساوي القيمة المطلقة لـ $4c$ أي $|4c|$ وهو قطعة مستقيمة تمر بالبؤرة وعمودية على محور التماثل. إذا كان $c$ موجباً، فالفتحة لليمين أو للأعلى، وإذا كان سالباً، فالفتحة لليسار أو للأسفل.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنفترض أننا نريد تحديد خصائص القطع المكافئ الذي معادلته $(y + 5)^2 = 12(x - 2)$ وتمثيله بيانيا. الخطوة الأولى: نحدد الصورة القياسية وهي $(y - k)^2 = 4c(x - h)$. بمقارنة المعادلتين، نجد أن إحداثيي الرأس $(h, k)$ هما $(2, -5)$. الخطوة الثانية: نجد قيمة $c$. لدينا $4c = 12$، إذن بقسمة الطرفين على 4 تنتج القيمة $c = 3$. وبما أن الحد التربيعي هو $y$ و $c$ موجبة، فالمنحنى مفتوح أفقياً إلى اليمين. الخطوة الثالثة: نجد البؤرة التي تقع على إحداثيات $(h + c, k)$، فتصبح $(2 + 3, -5)$ أي $(5, -5)$. الخطوة الرابعة: نجد معادلة الدليل بالقانون $x = h - c$، إذن $x = 2 - 3$ وتساوي $x = -1$. الخطوة الخامسة: نحسب طول الوتر البؤري $|4c|$ ليساوي 12 وحدة. نرسم الرأس والبؤرة والدليل والوتر البؤري ونصل المنحنى ليصبح متماثلاً.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع الخلط بين إحداثيات الرأس $(h, k)$ بحيث يُؤخذ العدد الذي مع $x$ على أنه $k$ والذي مع $y$ على أنه $h$؛ والصحيح أن العدد مع $x$ يحدد $h$ والعدد مع $y$ يحدد $k$ مع عكس إشارتيهما الموجودة في القوس. ومن الأخطاء أيضاً نسيان أخذ القيمة المطلقة عند حساب طول الوتر البؤري، أو تحديد اتجاه الفتحة بعكس إشارة $c$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد خصائص القطع المكافئ الذي معادلته $(x - 3)^2 = 12(y - 7)$. الإجابة: الرأس هو $(3, 7)$، و $4c = 12$ إذن $c = 3$، والمنحنى مفتوح رأسياً لأعلى، البؤرة هي $(3, 10)$، ومعادلة الدليل هي $y = 4$، وطول الوتر البؤري يساوي 12.

السؤال الثاني: اكتب معادلة القطع المكافئ الذي رأسه $(1, -4)$ وبؤرته $(3, -4)$. الإجابة: بما أن الإحداثي $y$ للرأس والبؤرة متطابق فإن المنحنى أفقياً، والمسافة بين الرأس والبؤرة هي $c = 3 - 1 = 2$، وبما أن البؤرة تقع إلى اليمين فالصورة هي $(y - k)^2 = 4c(x - h)$، فتصبح المعادلة بالتعويض $(y + 4)^2 = 8(x - 1)$.