حل المعادلات المثلثية

الدرس ١٩ من ٢٣الرياضيات ٣صفحات ١٥٨–١٧١

صفحة ١٥٨

صفحة ١ من ١٤

انظر إلى رأس الصفحة: نحن في الفصل الثالث، والدرس الخامس بعنوان حل المعادلات المثلثية. المعادلة المثلثية هي معادلة تحتوي على نسب مثلثية وتكون صحيحة لقيم محددة للمتغير، على عكس المتطابقات التي تكون صحيحة لكل قيم المتغير المعرف عندها. في فقرة لماذا، انظر إلى عجلة الدوّارة التي قطرها $40\text{ m}$ وتدور بمعدل $1.5$ دورة كل دقيقة، حيث يُمثَّل ارتفاع مقعدك فوق سطح الأرض بالمعادلة $h = 21 - 20\cos 3\pi t$ . المطلوب هو حساب متى يكون الارتفاع $31\text{ m}$ لأول مرة. انظر الآن إلى مثال 1 فرع a، حيث تحل المعادلة $\sin \theta \cos \theta - \frac{1}{2}\cos \theta = 0$ في الفترة من $0^\circ$ إلى $180^\circ$ . نبدأ بأخذ العامل المشترك $\cos \theta$ ليصبح لدينا $\cos \theta (\sin \theta - \frac{1}{2}) = 0$ . الآن نطبق خاصية الضرب الصفري، إما $\cos \theta = 0$ وتعطي $\theta = 90^\circ$ أو $270^\circ$ ، أو $\sin \theta - \frac{1}{2} = 0$ والتي تعطي $\sin \theta =\frac{1}{2}$ ومنها الزاويتان $30^\circ$ و $150^\circ$ . وبما أن الفترة المحددة هي بين $0^\circ$ و $180^\circ$ فقط، فإن الحلول المقبولة هي $30^\circ$ و $90^\circ$ و $150^\circ$ . ننتقل إلى الفرع b من المثال نفسه، حيث نحل المعادلة $2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$ في الفترة من $0$ إلى $2\pi$ . نحلل العبارة التربيعية إلى قوسين فينتج $(,\sin \theta - 2)(2\sin \theta + 1) = 0$ . من القوس الأول $\sin \theta = 2$ ، وهذا مرفوض لأنه ليس هناك قيمة لـ $\sin \theta$ أكبر من $1$ أو أصغر من $-1$ . ومن القوس الثاني نتج $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ ، والزوايا التي تحقق ذلك في الفترة المعطاة هي $\theta = \frac{7\pi}{6}$ و $\frac{11\pi}{6}$ .

صفحة ١٥٨

انظر إلى رأس الصفحة: نحن في الفصل الثالث، والدرس الخامس بعنوان حل المعادلات المثلثية. المعادلة المثلثية هي معادلة تحتوي على نسب مثلثية وتكون صحيحة لقيم محددة للمتغير، على عكس المتطابقات التي تكون صحيحة لكل قيم المتغير المعرف عندها. في فقرة لماذا، انظر إلى عجلة الدوّارة التي قطرها $40\text{ m}$ وتدور بمعدل $1.5$ دورة كل دقيقة، حيث يُمثَّل ارتفاع مقعدك فوق سطح الأرض بالمعادلة $h = 21 - 20\cos 3\pi t$ . المطلوب هو حساب متى يكون الارتفاع $31\text{ m}$ لأول مرة. انظر الآن إلى مثال 1 فرع a، حيث تحل المعادلة $\sin \theta \cos \theta - \frac{1}{2}\cos \theta = 0$ في الفترة من $0^\circ$ إلى $180^\circ$ . نبدأ بأخذ العامل المشترك $\cos \theta$ ليصبح لدينا $\cos \theta (\sin \theta - \frac{1}{2}) = 0$ . الآن نطبق خاصية الضرب الصفري، إما $\cos \theta = 0$ وتعطي $\theta = 90^\circ$ أو $270^\circ$ ، أو $\sin \theta - \frac{1}{2} = 0$ والتي تعطي $\sin \theta =\frac{1}{2}$ ومنها الزاويتان $30^\circ$ و $150^\circ$ . وبما أن الفترة المحددة هي بين $0^\circ$ و $180^\circ$ فقط، فإن الحلول المقبولة هي $30^\circ$ و $\cos \theta (\sin \theta - \frac{1}{2}) = 0$ و $150^\circ$ . ننتقل إلى الفرع b من المثال نفسه، حيث نحل المعادلة $2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$ في الفترة من $0$ إلى $2\pi$ . نحلل العبارة التربيعية إلى قوسين فينتج $(,\sin \theta - 2)(2\sin \theta + 1) = 0$ . من القوس الأول $\sin \theta = 2$ ، وهذا مرفوض لأنه ليس هناك قيمة لـ $\sin \theta$ أكبر من $1$ أو أصغر من $-1$ . ومن القوس الثاني نتج $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ ، والزوايا التي تحقق ذلك في الفترة المعطاة هي $\theta = \frac{7\pi}{6}$ و $\frac{11\pi}{6}$ .

صفحة ١٥٩

تابع التحقق من حلول مثال 1 في أعلى الصفحة، حيث نتحقق من صحة التعويض بالزوايا الناتجة لتتأكد من أن الطرف الأيمن يساوي الأيسر تماماً. انظر الآن إلى فقرة تحقق من فهمك لحل المعادلتين $1\text{A}$ و $1\text{B}$ بالطريقة نفسها. ننتقل إلى مثال 2 لحل معادلة مثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول، وهي $\cos \theta + 1 = 0$ لجميع قيم $\theta$ بالراديان. بطرح $1$ من الطرفين تصبح $\cos \theta = -1$ . انظر إلى التمثيل البياني لمنحنى $y = \cos \theta$ ، ستلاحظ أن المنحنى يقطع الخط $-1$ عند قيم متعددة. بما أن طول الدورة لدالة جيب التمام هو $2\pi$ ، فإن الحلول تُكتب بصيغة تعبير عام وهو $\pi + 2k\pi$ حيث $k$ أي عدد صحيح. انظر إلى فقرة تحقق من فهمك لحل الفرعين $2\text{A}$ و $2\text{B}$ . نأتي إلى مثال 3 من واقع الحياة لربط ما تعلمناه بمسألة مدينة الألعاب في فقرة لماذا. نعوض بـ $h = 31$ في المعادلة الأصلية $h = 21 - 20\cos 3\pi t$ ، فتصبح المعادلة $31 = 21 - 20\cos 3\pi t$ . نطرح $21$ من الطرفين فينتج $10 = -20\cos 3\pi t$ . نقسم على $-20$ فنحصل على $-\frac{1}{2} = \cos 3\pi t$ . وبأخذ معكوس جيب التمام للطرفين نصل إلى $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = 3\pi t$ . استمر في متابعة تبسيط الزوايا الخاصة للوصول إلى قيمة الزمن $t$ بدقة.

صفحة ١٦٠

نتابع حل مسألة مدينة الألعاب، حيث توصلنا إلى $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ . ومنها نكتب المعادلتين $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k = 3\pi t$ أو $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k = 3\pi t$ . بقسمة الطرفين على $3\pi$ نحصل على $t = \frac{2}{9} + \frac{2}{3}k$ أو $t =\frac{4}{9} + \frac{2}{3}k$ . وأقل قيمة موجبة لـ $t$ تنتج عندما يكون $k = 0$ في المعادلة الأولى، إذن $t = \frac{2}{9}$ دقيقة، وهذا يعني أن مقعدك يرتفع $31\text{ مترًا}$ للمرة الأولى بعد $\frac{2}{9}$ دقيقة. جرب حل فقرة تحقق من فهمك رقم 3 بنفس الخطوات لتجد وقت الوصول لارتفاع $41\text{ مترًا}$ . ننتقل بعد ذلك إلى فقرة الحلول الدخيلة. انظر إلى المعادلة $\cos \theta = 4$ ، ليس لها حل لأن قيم $\cos \theta$ محصورَة بين $-1$ و $1$ . أحياناً تؤدي العمليات الجبرية مثل التربيع إلى ظهور حلول لا تحقق المعادلة الأصلية وتسمى حلولاً دخيلة. انظر إلى مثال 4 لحل المعادلة $\sin \theta = 1 + \cos \theta$ في الفترة من $0^\circ$ إلى $360^\circ$ . بتربيع الطرفين نحصل على $\sin^2 \theta = (1 + \cos \theta)^2$ . نعوض عن $\sin^2 \theta$ بمتطابقة فيثاغورس $1 - \cos^2 \theta$ ، ونبسط المعادلة حتى نصل إلى $0 = 2\cos \theta (1 + \cos \theta)$ . إما $\cos \theta = 0$ أو $\cos \theta = -1$ . من هنا تظهر الحلول $90^\circ$ و $270^\circ$ و $180^\circ$ . وعند التحقق منها تكتشف أن الزاوية $270^\circ$ حل دخيل لا يحقق المعادلة الأصلية.

صفحة ١٦١

انظر إلى مثال 5، المطلوب حل المعادلة $2\sec^2 \theta - \tan^4 \theta = -1$ لجميع قيم $\theta$ بالدرجات. نبدأ بتعويض المتطابقة $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ في المعادلة الأصلية لتوحيد الدوال المثلثية. بعد توزيع الأردن وترتيب الحدود ونقلها لطرف واحد لتصبح مساوية للصفر، نحصل على المعادلة ذات القوة الرابعة: $\tan^4 \theta - 2\tan^2 \theta - 3 = 0$ . نحلل هذه العبارة كمقدار ثلاثي إلى قوسين هما: $(\tan^2 \theta - 3)(\tan^2 \theta + 1) = 0$ . باستخدام خاصية الضرب الصفري، إما $\tan^2 \theta + 1 = 0$ وتؤدي إلى $\tan^2 \theta = -1$ وهذا مرفوض لأنه لا يوجد مربع حقيقي سالب، أو $\tan^2 \theta = 3$ والتي تعطي باختيار الجذر التربيعي $\tan \theta = \pm\sqrt{3}$ . الزوايا التي تحقق ذلك هي $60^\circ$ و $120^\circ$ ومضاعفاتها بزيادة دورة كاملة للظل وهي $180^\circ$ لأن طول دورة دالة الظل هو $\pi$ . انظر إلى جدول التحقق أسفل الصفحة لترى كيف تم تعويض هذه الزوايا للتأكد من صحة الطرفين. وحاول حل أسئلة تحقق من فهمك $5\text{A}$ و $5\text{B}$ لتثبت فهمك.

صفحة ١٦٢

هذه الصفحة مخصصة لتدرب وحل المسائل الخاصة بدرس حل المعادلات المثلثية. تتنوع الأسئلة هنا؛ فمنها ما يُطلب فيه حل معادلة على فترة معينة مثل المسائل من $1$ إلى $8$ حيث تستخدم التحليل أو المتطابقات، ومنها ما يُطلب فيه حل المعادلة لجميع قيم $\theta$ بالدرجات أو بالراديان كما في المسائل من $9$ إلى $22$ . انظر إلى المسألة رقم $23$ ، فيها يبلغ ارتفاع برج الفيصلية في الرياض $876\text{ ft}$ والمطلوب إيجاد قياس الزاوية $\theta$ إذا كان طول ظله كما في الشكل أدناه $685\text{ m}$ . انظر أيضاً إلى المسألة التطبيقية رقم $24$ عن الأنهار، حيث تُمثَّل دالة العمق بالمعادلة $y = 3\sin[\frac{\pi}{6}(x - 4)] + 8$ ، والمطلوب إيجاد أقصى عمق للنهر، وفي أي وقت نحصل على أقصى عمق. اقرأ المسائل بتمعن واختر المتطابقة أو طريقة التحليل المناسبة لكل فرع لتصل إلى الحل الصحيح بخطوات رياضية دقيقة.

صفحة ١٦٣

نتابع في هذه الصفحة مسائل مهارات التفكير العليا وتدريب على اختبار. انظر إلى السؤال رقم $31$ في قسم اكتشف الخطأ: حلت كل من هلا وليلى المعادلة $2\sin \theta \cos \theta = \sin \theta$ في الفترة من $0^\circ$ إلى $360^\circ$ . انظر إلى حلي الطالبين لتكتشف أيهما طبق خصائص المعادلات بشكل صحيح دون قسمة طرفي المعادلة على متغير قد يفقدك حلولاً ممكنة. في السؤال رقم $32$ ، تحدًّ: حل المتباينة $\sin 2x < \sin x$ في الفترة من $0$ إلى $2\pi$ بدون استعمال الحاسبة. في السؤال رقم $34$ ، تبرير: اشرح سبب وجود عدد لا نهائي من الحلول للمعادلات المثلثية. ننتقل إلى قسم تدريب على اختبار، وانظر إلى السؤال رقم $47$ الذي يسأل: أي مما يأتي ليس حلًا للمعادلة $\sin \theta + \cos \theta \tan^2 \theta = 0$ ؟ استعمل خيارات الإجابة الأربعة لتجربتها أو حل المعادلة جبرياً حتى تستبعد الحل غير الصحيح. وفي السؤال رقم $48$ ، ما حل المعادلة $\csc x = \frac{-2\sqrt{3}}{3}$ حيث $0^\circ < x < 360^\circ$ ؟ حول القسِك إلى جيب الزاوية باستخدام المقلوب ثم حدد أرباع وقوع الزاوية.

صفحة ١٦٤

انظر إلى رأس الصفحة: نحن في دليل الدراسة والمراجعة للفصل الثالث. يضم هذا القسم ملخص الفصل والمفاهيم الأساسية التي درستها في هذا الباب. انظر إلى جدول ملخص الفصل الخاص بالمتطابقات المثلثية، فهو يجمع لك جميع القوانين الهامة بدءاً من متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما، مروراً بمتطابقات ضعف الزاوية ونصفها، وصولاً إلى متطابقات الدوال الأساسية وفيثاغورس. انظر إلى قسم اختبار مفرداتك في منتصف الصفحة، حيث يُطلب منك كتابة المفردة المناسبة لكل عبارة. مثلاً، في السؤال الأول: يمكن استعمال..... لإيجاد جيب أو جيب تمام الزاوية $75^\circ$ إذا علم الجيب والجيب تمام لكل من الزاويتين $90^\circ$ و $15^\circ$ . تذكر القوانين التي تعلمتها واملأ الفراغات بالكلمة الصحيحة مثل متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما، أو متطابقات ضعف الزاوية، لتختبر مدى استيعابك للمفردات الرياضية بدقة.

صفحة ١٦٥

هذه الصفحة مخصصة لمراجعة الدرس الأول من الفصل الثالث والمتعلق بالمتطابقات المثلثية. انظر إلى مثال 1، المطلوب إيجاد القيمة الدقيقة لـ $\sin \theta$ إذا كان $\cos \theta = \frac{3}{4}$ و $\circ < \theta < 90^\circ$ . الحل يبدأ بكتابة متطابقة فيثاغورس الأساسية $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ . نعوض بقيمة $\cos \theta$ المذكورة، ثم نبسط ونأخذ الجذر التربيعي للطرفين. وبما أن الزاوية في الربع الأول، فإن قيمة $\sin \theta$ موجبة فنختار القيمة الموجبة فقط. انظر إلى مثال 2 الذي يطلب بسط العبارة $\cos \theta \sec \theta \cot \theta$ . باستخدام متطابقات المقلوب والنسبية، حيث $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ و $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ ، تختصر الحدود لنصل في النهاية إلى $\cot \theta$ . تابع حل بقية التمارين على النمط نفسه لتثبت مهاراتك في تبسيط العبارات.

صفحة ١٦٦

نتابع مراجعة الدروس في هذه الصفحة، وتحديداً الدرس الثاني والثلاثين الخاص بإثبات صحة المتطابقات المثلثية، والدرس الثالث الخاص بمتطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما. انظر إلى مثال 3 الذي يطلب إثبات صحة المتطابقة $\frac{\cos \theta + 1}{\sin \theta} = \cot \theta + \csc \theta$ . نبدأ بالطرف الأيسر ونفصله إلى كسرين ليصبح $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$ ، وبإبدال النسب بدلالة الدوال المثلثية تصبح $\cot \theta + \csc \theta$ وهو ما يطابق الطرف الأيمن تماماً. انظر إلى مثال 4 في منتصف الصفحة، والمطلوب إيجاد القيمة الدقيقة لـ $\sin 75^\circ$ دون استعمال الآلة الحاسبة. نكتب الزاوية على صورة مجموع زاويتين شهيرتين هما $30^\circ$ و $45^\circ$ ، ثم نطبق متطابقة جيب مجموع زاويتين: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . نعوض بالقيم الدقيقة لجيب وجيب تمام هاتين الزاويتين ونبسط المقدار لنصل إلى القيمة النهائية المطلوبة.

صفحة ١٦٧

نستكمل مراجعة الفصل الثالث مع الدرس الرابع الخاص بالمتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها، والدرس الخامس الخاص بحل المعادلات المثلثية. انظر إلى مثال 5، المطلوب إيجاد القيم الدقيقة لكل من $\sin \frac{\theta}{2}$ و $\cos \frac{\theta}{2}$ و $\sin 2\theta$ و $\cos 2\theta$ إذا كان $\cos \theta = -\frac{3}{5}$ وتوقع $\theta$ في الربع الثاني. لبدء إيجاد جيب نصف الزاوية، نستخدم متطابقة نصف الزاوية للجيب $\sin \frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ . نعوض بقيمة $\cos \theta$ المعطاة، ونبسط المقدار داخل الجذر، ثم نختار الإشارة الموجبة لأن $\frac{\theta}{2}$ يقع في الربع الأول. انظر إلى مثال 6 أسفل الصفحة، حيث يُطلب حل المعادلة $\sin 2\theta - \cos \theta = 0$ في الفترة من $0$ إلى $2\pi$ . نستعمل متطابقة ضعف الزاوية لـ $\sin 2\theta$ وهي $2\sin \theta \cos \theta$ لتصبح المعادلة $2\sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$ . نأخذ $\cos \theta$ عاملاً مشتركاً لنصل إلى حلول المعادلة بكل سهولة.

صفحة ١٦٨

تضم هذه الصفحة مجموعة من التطبيقات والمسائل المتنوعة على دروس الفصل الثالث. انظر إلى المسألة رقم $42$ عن الإنشاءات: يبيّن الشكل ممراً مائلاً لمنزل، والمطلوب ربطه بالدرس الأول. في المسألة رقم $43$ عن الضوء: تُعطى شدة الضوء الخارجي من عدستين متتاليتين بالصيغة المعطاة، والمطلوب كتابة الصيغة بحيث لا تظهر فيها نسب مثلثية سوى $\tan \theta$ . انظر إلى المسألة رقم $44$ عن الخرائط: يُستعمل إسقاط ستيروجرافيك لتحويل مسار ثلاثي الأبعاد على الكرة الأرضية إلى مسار في المستوى، وعليك إثبات المعادلة المرتبطة بالنقاط. في المسألة رقم $45$ عن الموجات: يسمى تداخل موجتين بناءً إذا كانت سعة الموجة الناتجة أكبر من سعة مجموع الموجتين المتداخلتين، وعليك معرفة هل يكون تداخل الموجتين في معادلتيها بناءً أم لا. ادرس كل مسألة بدقة واربطها بالدرس المذكور بجانبها لتحل المطلوب بمهارة.

صفحة ١٦٩

هذه الصفحة مخصصة لاختبار الفصل الثالث. انظر إلى أسئلة الاختيار من متعدد في أعلى الصفحة، مثل السؤال الأول الذي يسألك: أي من العبارات الآتية تكافئ $\sin \theta + \ص \cot \theta$ ؟ جرب تبسيط المقدار باستخدام المتطابقات الأساسية لتصل إلى الخيار الصحيح بين $C$ أو $A$ أو غيرها. انظر إلى الأسئلة المقالية في منتصف الصفحة، حيث يُطلب منك إثبات صحة بعض المتطابقات مثل $\cos(30^\circ - \theta) = \sin(60^\circ + \theta)$ . وفي القسم التالي، يُطلب إيجاد القيمة الدقيقة لبعض النسب دون استعمال الآلة الحاسبة، مثل $\cos(-225^\circ)$ و $\sin 480^\circ$ . وفي الأسئلة الأخيرة، تجد معادلات مثلثية يُطلب منك حلها لجميع قيم $\theta$ أو في فترة معينة، مثل $2\cos^2 \theta - 3\cos \theta - 2 = 0$ . استمر في تطبيق ما تعلمته في هذا الفصل لتجتاز الاختبار بثقة.

صفحة ١٧٠

انظر إلى رأس الصفحة: نحن نبدأ الفصل الرابع بعنوان القطوع المخروطية. في قسم فيما سبق، درست تمثيل الدالة التربيعية ودالة المقلوب. وفي قسم والآن، ستتعلم كيف تحلل وتكتب معادلات القطوع المكافئة والدوائر والقطوع الناقصة والزائدة وتمثلها بيانيا، وتحدد أنواعها باستعمال معادلاتها. انظر إلى فقرة لماذا عن الفضاء: القطوع المخروطية شائعة الاستعمال في مجالات الفضاء، إذ تُستعمل معادلات الدوائر في وصف مدارات حركة السفن الفضائية والأقمار الصناعية حول الأرض، كما أن الكواكب تسير في مسارات بيضاوية الشكل تشبه القطوع الناقصة، أما المذنبات فتسير في اتجاه أحد جزئي القطع الزائد، مما يساعد على التنبؤ بزمن ظهورها لاحقاً. تأمل صورة الكوكب والمدار الخاتمي المحيط به لتدرك جمال الرياضيات في وصف الكون.

صفحة ١٧١

انظر إلى رأس الصفحة: نحن في صفحة التهيئة للفصل الرابع. ابدأ بقراءة مراجعة المفردات التي تستعرض التحويلات الهندسية للدوال، ومفهوم المماس وهو المستقيم الذي يمس منحنىً إذا قطعه ولم يعبره عند نقطة التماس. تذكر أيضاً متطابقات فيثاغورس وكيفية إكمال المربع لأي عبارة تربيعية من الصورة $ax^2 + bx$ باتباع الخطوات الثلاث المذكورة بوضوح: أولاً أوجد نصف معامل $x$ ، ثانياً ربع الناتج، ثالثاً اجمع الناتج في العبارة. انظر إلى اختبار سريع في وسط الصفحة، والمطلوب فيه إيجاد محور التماثل والمقطع $y$ والرأس لكل دالة تربيعية معطاة من $1$ إلى $6$ . وفي التمارين من $8$ إلى $13$ ، يُطلب إيجاد مميز كل من الدوال التربيعية الآتية. انظر أسفل الصفحة إلى التمارين من $14$ إلى $15$ لإكمال المربع، ومن $16$ إلى $17$ لتمثيل دالة مقلوب بيانيا بمعاونة خطوط التقارب الأفقي والرأسي الموضحة في الرسم البياني المصغر.

يقوم حل المعادلات المثلثية على إيجاد قيم المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة ضمن فترة معينة أو لجميع قيم الزوايا. تعتمد الفكرة على استخدام التحليل إلى عوامل، أو المتطابقات المثلثية مثل متطابقات ضعف الزاوية، لتحويل المعادلة المعقدة إلى أبسط صورها ثم تطبيق خاصية الضرب الصفري. على سبيل المثال، لحل المعادلة $\sin \theta \cos \theta - \frac{1}{2} \cos \theta = 0$ في الفترة من $0^\circ$ إلى $180^\circ$ ، نقوم بسحب $\cos \theta$ كعامل مشترك لنحصل على $\cos \theta (\sin \theta - \frac{1}{2}) = 0$ . إما $\cos \theta = 0$ وتكون الزاوية $90^\circ$ ، أو $\sin \theta = \frac{1}{2}$ وتكون الزاويتان هما $30^\circ$ و $150^\circ$ . يجب دائماً الانتباه للحلول الدخيلة التي تنتج عند تربيع الأطراف أو استخدام المتطابقات، والتحقق من صحة الحلول بتعويضها في المعادلة الأصلية للتأكد من انتمائها للفترة المعطاة.

الفكرة الأساسية

حل المعادلة المثلثية يعني إيجاد قيم المتغير، مثل $\theta$ ، التي تجعل العبارة صحيحة عند تعويضها. إن كنت تعرف أن $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ ، فحل المعادلة $\sin \theta = \frac{1}{2}$ هو تحديد الزاوية $\theta$ التي تحقق ذلك. بعض المعادلات لها حلول محددة في فترة مثل $[0, 360^\circ]$ ، وبعضها لها عدد لا نهائي من الحلول يكتب بدلالة دورة الدالة.

الشرح

نستخدم في حل المعادلات المثلثية نفس خطوات المعادلات الجبرية العادية: نقل الحدود، التحليل، واستخدام الخاصية الصفريّة. الفرق هنا أننا نستعين بالمتطابقات المثلثية مثل متطابقات ضعف الزاوية أو متطابقات فيثاغورس لتحويل جميع نسب المعادلة إلى نوع واحد، كأن تصبح كلها بدلالة $\sin \theta$ أو $\cos \theta$ . عندما تصل إلى صورة مثل $\sin \theta = c$ ، فإنك تبحث عن الزوايا التي تحقق هذه النسبة في الأرباع المناسبة بحسب إشارة النسبة موجبة أو سالبة. انتبه جيداً لخطوة التربيع أو استخدام بعض المتطابقات؛ فقد تنتج عنها حلول لا تحقق المعادلة الأصلية وتسمى حلولاً دخيلة، ولذلك فإن التحقق عبر التعويض أمر إلزامي.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة $\sin 2\theta - \cos \theta = 0$ حيث $\theta$ في الفترة من $0$ إلى $2\pi$ . الخطوة الأولى: استخدم متطابقات ضعف الزاوية لفك $\sin 2\theta$ لتصبح المعادلة $2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$ . الخطوة الثانية: حلل العبارة بأخذ $\cos \theta$ عامل مشترك، فينتج لدينا $\cos \theta (2 \sin \theta - 1) = 0$ . الخطوة الثالثة: طبق خاصية الضرب الصفري، إما $\cos \theta = 0$ أو $2 \sin \theta - 1 = 0$ . الخطوة الرابعة: من المعادلة الأولى $\cos \theta = 0$ تكون قيم $\theta$ هي $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$ . ومن المعادلة الثانية نحصل على $\sin \theta = \frac{1}{2}$ وتكون قيم $\theta$ في الفترة المحددة هي $\frac{\pi}{6}$ و $\frac{5\pi}{6}$ . إذن الحلول هي $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ .

أخطاء شائعة

إهمال كتابة جميع الحلول الممكنة ضمن الفترة المعطاة ونسيان الزاوية في الربع الثاني أو الثالث.
عدم استبعاد الحلول الدخيلة التي تظهر عند تربيع أطراف المعادلة أو استخدام متطابقات معينة.
القسمة على متغير يحتوي على نسبة مثلثية مثل $\cos \theta$ مما يؤدي إلى ضياع بعض الحلول، والصحيح هو استخدام التحليل بأخذ العامل المشترك.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة $2 \cos^2 \theta - 1 = 0$ حيث $\theta$ في الفترة من $0^\circ$ إلى $360^\circ$ . الإجابة: $\theta = 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ$ . السؤال الثاني: حل المعادلة $\tan \theta - \sin \theta = 0$ حيث $\theta$ في الفترة من $0^\circ$ إلى $360^\circ$ . الإجابة: $\theta = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$ .