المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها

يقوم هذا الدرس على إيجاد القيم الدقيقة للدوال المثلثية لضعف الزاوية ونصفها باستخدام قوانين محددة تُشتق من متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما. أهم ما في الدرس مجموعتان من القوانين: متطابقات ضعف الزاوية مثل $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ ومتطابقات جيب تمام التمام، ومتطابقات نصف الزاوية التي تحتوي على الجذور المسبوقة بإشارة موجب أو سالب بناءً على الربع الذي تقع فيه زاوية النصف. كمثال سريع، إذا كانت $\sin \theta = \frac{2}{3}$ في الربع الأول، لإيجاد $\sin 2\theta$ نجد أولاً $\cos \theta$ باستخدام متطابقة فيثاغورس فتساوي $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ثم نعوض في قانون ضعف الزاوية لنحصل على $\frac{4\sqrt{5}}{9}$.

الفكرة الأساسية

يعتمد هذا الدرس على حقيقة بسيطة: إذا كنت تعرف دالة مثلثية لزاوية مثل $\theta$، فكيف تجد دالتها لضعفها $2\theta$ أو لنصفها $\frac{\theta}{2}$ دون استخدام الآلة الحاسبة؟ الفكرة تقوم على استبدال الزوايا في متطابقات مجموع زاويتين بقيم متطابقة للحصول على قوانين جديدة جاهزة للتعويض المباشر.

الشرح

لدينا مجموعتان رئيسيتان من المتطابقات. المجموعة الأولى هي متطابقات ضعف الزاوية وتشمل:

• متطابقة الجيب: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
• متطابقات جيب التمام ولها ثلاث صور: $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ أو $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ أو $\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$
• متطابقة الظل: $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$

المجموعة الثانية هي متطابقات نصف الزاوية وتحتوي على إشارة تسبق الجذر ويحددها ربع زاوية النصف $\frac{\theta}{2}$:

• $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$
• $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$
• $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد القيمة الدقيقة لـ $\sin 2\theta$ إذا كان $\sin \theta = \frac{2}{3}$ و $0^\circ < \theta < 90^\circ$. الخطوة الأولى: بما أن قانون ضعف الزاوية $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ يحتاج إلى قيمة $\cos \theta$ وهي غير مجهولة لدينا، نستخدم متطابقة فيثاغورس الأساسية: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ $\cos^2 \theta + (\frac{2}{3})^2 = 1$ $\cos^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$ بترحيل الكسر للطرف الأيمن وطرحه من الواحد: $\cos^2 \theta = \frac{5}{9}$ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ وبما أن الزاوية $\theta$ في الربع الأول ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) حيث جميع الدوال المثلثية موجبة، إذن: $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

الخطوة الثانية: نعوض في قانون ضعف الزاوية المباشر: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ $= 2 (\frac{2}{3}) (\frac{\sqrt{5}}{3})$ $= \frac{4\sqrt{5}}{9}$

أخطاء شائعة

• نسيان تحديد الإشارة (الموجبة أو السالبة) قبل جذر متطابقات نصف الزاوية، والخطأ هنا أن الإشارة تُحدد بناءً على ربع زاوية النصف $\frac{\theta}{2}$ وليس ربع الزاوية الأصلية $\theta$.
• الخلط بين صور قانون $\cos 2\theta$ الثلاث، واختيار صورة تفتقر للمعلومات المتوفرة في المسألة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد القيمة الدقيقة لـ $\sin 2\theta$ إذا كان $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ و $90^\circ < \theta < 180^\circ$. الإجابة: $-\frac{4\sqrt{2}}{9}$

السؤال الثاني: أوجد القيمة الدقيقة لـ $\cos \frac{\theta}{2}$ إذا كان $\sin \theta = -\frac{4}{5}$ و $\theta$ تقع في الربع الثالث. الإجابة: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$