المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما

تقوم فكرة الدرس على إيجاد قيم الدوال المثلثية لزوايا غير شهيرة عبر فكها إلى مجموع أو فرق زوايا شهيرة مثل $30^\circ$ و $45^\circ$ و $60^\circ$. يتضمن الدرس قوانين للجيب وجيب التمام والظل لحالتي الجمع والطرح. مثلاً لإيجاد قيمة $\sin 105^\circ$ نكتبها على شكل $\sin(60^\circ + 45^\circ)$ ونطبق متطابقة مجموع الجيب $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ لنصل إلى النتيجة الدقيقة دون استخدام الآلة الحاسبة.

الفكرة الأساسية

تعتمد متطابقات المجموع والفرق على استخدام الزوايا الخاصة الشهيرة لفك أي زاوية مركبة يصعب حساب نسبتها المثلثية مباشرة. إذا أردت حساب قيمة لدالة مثلثية لزوية مثل $105^\circ$، فالبحث عن زاويتين معروفتين مجموعهما أو الفرق بينهما يساوي $105^\circ$ يحل المشكلة.

الشرح

تعطى قوانين المتطابقات لست حالات أساسية تنقسم إلى مجموع وفرق: للجيب: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ لاحظ كيف أن إشارة الجيب في متطابقة المجموع تبقى موجبة وفي الفرق تبقى سالبة، وأن النمط يتبادل بين الجيب وجيب التمام. لجيب التمام: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ لاحظ أن إشارة جيب التمام تعكس الإشارة الأصلية؛ الموجب يصبح سالباً والعكس، ويبدأ الحد الأول بضرب جيب التتمام للزاويتين معاً. للظل: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد القيمة الدقيقة لـ $\sin 105^\circ$ دون استعمال الآلة الحاسبة. الخطوة الأولى: فكك الزاوية إلى مجموع زاويتين خاصتين: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ الخطوة الثانية: اكتب متطابقة مجموع الجيب: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ الخطوة الثالثة: عوض بالقيم: $\sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$ الخطوة الرابعة: ضع قيم الدوال المثلثية للزوايا الشهيرة: $= (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})$ الخطوة الخامسة: اضرب وبسط للوصول للناتج النهائي: $= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

أخطاء شائعة

الخطأ الأول هو الخلط بين إشارات متطابقات جيب التمام حيث يضع الطالب إشارة موجبة في حالة الجمع بدلاً من السالبة. الخطأ الثاني هو توزيع دالة الجيب أو جيب التمام على القوس مباشرة هكذا $\sin(A+B) = \sin A + \sin B$ وهو خطأ فادح لأن المتطابقة تتطلب فكها إلى أربعة حدود.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد القيمة الدقيقة لـ $\cos(-120^\circ)$. الإجابة: $-\frac{1}{2}$. السؤال الثاني: أثبت صحة المتطابقة $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$. الإجابة: بفك الطرف الأيسر باستخدام متطابقة الفرق لجيب التمام نحصل على $\cos 90^\circ \cos \theta + \sin 90^\circ \sin \theta$ وعند التعويض بالقیم يصبح الناتج $(0)(\cos \theta) + (1)(\sin \theta) = \sin \theta$ وهو الطرف الأيمن المطلوب.