إثبات صحة المتطابقات المثلثية

يقوم إثبات صحة المتطابقات المثلثية على تحويل أحد طرفي المعادلة، أو كلاهما، لكي يصبحا متساويين تماماً، مستخدمين في ذلك المتطابقات الأساسية والتحويلات الجبرية مثل التحليل والضرب في المرافق. على سبيل المثال، لإثبات صحة المتطابقة $\frac{\sin^2 \theta}{1 - \cos \theta} = 1 + \cos \theta$، نبدأ بالطرف الأيسر ونضرب البسط والمقام في مرافق المقام وهو $(1 + \cos \theta)$، فنحصل على $\frac{\sin^2 \theta(1 + \cos \theta)}{1 - \cos^2 \theta}$، وبما أن $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$، تختصر $\sin^2 \theta$ مع $\sin^2 \theta$ ليتبقى لدينا $1 + \cos \theta$ وهو ما يطابق الطرف الأيمن.

الفكرة الأساسية

تعتمد فكرة إثبات صحة المتطابقات المثلثية على أخذ أحد طرفي العبارة وتحويله خطوة بخطوة باستخدام المتطابقات والعمليات الجبرية حتى يصبح مطابقاً تماماً للطرف الآخر. القاعدة الأساسية هنا تقول إن الأفضل هو البدء بالطرف الأكثر تعقيداً لتبسيطه.

الشرح

عندما يطلب منك إثبات أن طرفاً يساوي طرفاً آخر، فأنت لا تحل معادلة مجهولة، بل تثبت أن الطرفين متكافئان لجميع قيم الزاوية $\theta$. للقيام بذلك، أمامك عدة اقتراحات أساسية تساعدك في الحل:

1. تبسيط العبارة باستخدام المتطابقات الأساسية.
2. تحليل كل من البسط والمقام أو أخذ عامل مشترك.
3. كتابة كل طرف بدلالة الجيب ($\sin \theta$) وجيب التمام ($\cos \theta$) فقط.
4. تحويل كلا الطرفين بشكل منفصل إلى صورة مشتركة إذا كان ذلك أسهل.

تنبيه مهم: لا تستخدم خصائص المساواة بنقل الحدود بين طرفين كما تفعل في المعادلات العادية، لأن الهدف هنا هو إثبات أن الطرفين متساويان بذاتهما.

مثال محلول خطوة بخطوة

أثبت صحة المتطابقة: $\cos \theta \ cot \theta = \csc \theta - \sin \theta$

الخطوة الأولى: نبدأ بالطرف الأيسر وهو الأجزاء التي تحتوي على ضرب: الطرف الأيسر = $\cos \theta \ cot \theta$

الخطوة الثانية: نستخدم متطابقة القسيمة لـ $\cot \theta$ حيث أن $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$: = $\cos \theta \left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)$

الخطوة الثالثة: نضرب البسط في البسط: = $\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}$

الخطوة الرابعة: ننتقل الآن لتبسيط الطرف الأيمن لنصل إلى نفس النتيجة. الطرف الأيمن هو $\csc \theta - \sin \theta$. الخطوة الخامسة: نعوض عن $\csc \theta$ بمقلوها $\frac{1}{\sin \theta}$: = $\frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta$

الخطوة السادسة: نوحد المقامات بطرح $\sin \theta$ بعد ضربها وبسطها في $\sin \theta$: = $\frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta}$

الخطوة السابعة: من المتطابقات الأساسية نعلم أن $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$، إذن: = $\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}$

بما أن الطرف الأيسر والطرف الأيمن وصلا إلى نفس المقدار وهو $\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}$، إذن الطرفان متساويان والمتطابقة صحيحة.

أخطاء شائعة

• الخطأ الأول: التعامل مع المتطابقة كمعادلة ونقل الحدود بين الطرفين عبر إشارة المساواة، والصواب هو العمل على كل طرف بمعزل عن الآخر أو تبسيط أحدهما ليصل للآخر.
• الخطأ الثاني: نسيان القوانين الأساسية للمتطابقات وعدم معرفة متى يتم استخدام الضرب في المرافق أو توحيد المقامات.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أثبت صحة المتطابقة التالية: $\cot \theta (\cot \theta + \tan \theta) = \csc^2 \theta$ الإجابة: نبدأ بفك الأقواس بضرب $\cot \theta$ فيما داخلها: = $\cot^2 \theta + \cot \theta \tan \theta$ بما أن $\cot \theta \tan \theta = 1$، تصبح العبارة: = $\cot^2 \theta + 1$ وحسب المتطابقات الأساسية فإن $\cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta$ وهو المطلوب في الطرف الأيمن.

السؤال الثاني: أثبت صحة المتطابقة التالية: $1 + \sec^2 \theta \sin^2 \theta = \sec^2 \theta$ الإجابة: نحول $\sec^2 \theta$ في الحد الأوسط إلى مقلوبها $\frac{1}{\cos^2 \theta}$: = $1 + \left(\frac{1}{\cos^2 \theta}\right) \sin^2 \theta$ = $1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ بما أن $\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$، تصبح العبارة: = $1 + \tan^2 \theta$ وحسب المتطابقات الأساسية فإن $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ وهو المطلوب.