المتطابقات المثلثية

تقوم فكرة المتطابقات المثلثية على وجود علاقات رياضية صحيحة دائما لجميع قيم المتغير، مثل المتطابقات النسبية ومطابقات المقلوب ومطابقات فيثاغورس. تستخدم هذه المتطابقات لإيجاد القيم الدقيقة للدوال المثلثية، وتبسيط العبارات المعقدة، وإعادة كتابة الصيغ الرياضية في مسائل واقع الحياة. مثلا، لمعرفة القيمة الدقيقة لـ $\cos \theta$ إذا كانت $\sin \theta = \frac{1}{4}$ في الفترة المحددة، نستخدم متطابقة فيثاغورس $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$، فنحصل على $\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$ بعد مراعاة إشارة الربع الذي تقع فيه الزاوية.

الفكرة الأساسية

المتطابقة هي معادلة صحيحة لجميع قيم المتغيرات فيها. إذا وجدت قيمة واحدة تجعل المعادلة خطأ فهي ليست متطابقة. في الدوال المثلثية، تستخدم المتطابقات الأساسية لتسهيل الحسابات، وتبسيط العبارات، وإيجاد قيم دقيقة.

الشرح

تنقسم المتطابقات الأساسية إلى مجموعات:

• المتطابقات النسبية: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ و $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
• مطابقات المقلوب: $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ و $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ و $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$.
• مطابقات فيثاغورس: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ و $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$ و $\cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta$.
• متطابقات الزاويتين المتتامتين: مثل $\sin (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$.
• متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية: مثل $\sin (-\theta) = -\sin \theta$ و $\cos (-\theta) = \cos \theta$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد القيمة الدقيقة لـ $\cos \theta$ إذا كانت $\sin \theta = \frac{1}{4}$، حيث $90^\circ < \theta < 180^\circ$. الخطوة 1: نكتب متطابقة فيثاغورس: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$. الخطوة 2: نعزل $\cos^2 \theta$ في طرف: $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$. الخطوة 3: نعوض بقيمة $\sin \theta$: $\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. الخطوة 4: نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$. الخطوة 5: نحدد الإشارة بناء على الربع الثاني حيث تكون $\cos \theta$ سالبة، إذن $\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

أخطاء شائعة

• نسيان تحديد إشارة الدالة المثلثية بناء على الربع الذي تقع فيه الزاوية.
• الخلط بين إشارات الدوال الفردية والزوجية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد القيمة الدقيقة لـ $\cos \theta$ إذا كانت $\sin \theta = \frac{1}{3}$، وحيث $0^\circ < \theta < 90^\circ$. الإجابة: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. السؤال الثاني: بسط العبارة الآتية: $\frac{\sin \theta \csc \theta}{\cot \theta}$. الإجابة: $\tan \theta$.