اللوغاريتمات العشرية (١)

تقوم اللوغاريتمات العشرية على أساس رقم عشرة، وترمز لها بالرمز $\log x$ دون كتابة الأساس. تستخدم لحل المعادلات والمتباينات الأسية التي يصعب تساوي أساساتها، وذلك بأخذ اللوغاريتم للطرفين واستخدام خصائص القوى مثل نقل الأس إلى قبل اللوغاريتم. كما تتضمن صيغة تغيير الأساس $\log_a n = \frac{\log_b n}{\log_b a}$ لكتابة اللوغاريتمات بأساسات مختلفة بدلالة اللوغاريتم العشري ليسهل حسابها بالحاسبة. مثال: لحل المعادلة $4^x = 19$، نأخذ لوغاريتم الطرفين لتصبح $x \log 4 = \log 19$، ومنها ينتج $x = \frac{\log 19}{\log 4} \approx 2.1240$.

الفكرة الأساسية\nتعرّف اللوغاريتمات العشرية بأنها لوغاريتمات أساسها العدد عشرة، وتُكتب دون كتابة الأساس هكذا $\log x$ حيث $x > 0$. ترتبط هذه اللوغاريتمات ارتباطاً وثيقاً بقوى العدد عشرة، وتستخدم في حسابات واقعية مثل قياس قوة الهزات الأرضية بمقياس ريختر وشدة الصوت بالديسبل. وتبرز حاجتنا إليها حين تعجز عن كتابة طرفي المعادلة الأسية بالأساس نفسه.\n\n## الشرح\nحين تواجه معادلة أسيّة مثل $4^x = 19$، لا يمكنك توحيد الأساسين كما كنت تفعل سابقاً. هنا يأتي دور خصائص اللوغاريتمات، حيث تستخدم خاصية المساواة للدوال اللوغاريتمية بأخذ اللوغاريتم للطرفين فتصبح $\log 4^x = \log 19$. بعد ذلك تطبق خاصية لوغاريتم القوة لتنزل الأس $x$ أمام اللوغاريتم فيصبح $x \log 4 = \log 19$. تقسم كلا الطرفين على $\log 4$ لتجد قيمة $x$. وفي حال واجهت لوغاريتمًا بأساس مختلف مثل $\log_3 20$، تستخدم صيغة تغيير الأساس لكتابته بدلالة اللوغاريتم العشري هكذا: $\log_3 20 = \frac{\log_{10} 20}{\log_{10} 3}$ لكي تتمكن من إيجاد قيمته باستعمال الحاسبة.\n\n## مثال محلول خطوة بخطوة\nحل المعادلة $4^x = 19$ وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.\nالخطوة الأولى: اكتب المعادلة الأصلية $4^x = 19$.\nالخطوة الثانية: استخدم خاصية المساواة للدوال اللوغاريتمية بأخذ لوغاريتم الطرفين لتصبح $\log 4^x = \log 19$.\nالخطوة الثالثة: طبق خاصية لوغاريتم القوة لتنقل الأس إلى اليسار هكذا $x \log 4 = \log 19$.\nالخطوة الرابعة: اقسم كلا الطرفين على $\log 4$ لتصبح $x = \frac{\log 19}{\log 4}$.\nالخطوة الخامسة: استعمل الحاسبة ليظهر لك الناتج $x \approx 2.1240$.\n\n## أخطاء شائعة\nنسيان عكس اتجاه رمز المتباينة عند القسمة على عدد سالب في المتباينات اللوغاريتمية، حيث تذكر دائماً أن $\log 3 - \log 7$ مثلاً قيمة سالبة لأن لوغاريتم العدد الأصغر من واحد يكون سالباً.\nالخلط في صيغة تغيير الأساس بين البسط والمقام، وتذكر دائماً أن الأساس القديم يصبح في المقام والعدد الأصلي في البسط.\n\n## سؤالان للتدريب مع الإجابة\nالسؤال الأول: حل المعادلة $3^x = 15$ وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.\nالإجابة: $x \approx 2.4650$.\nالسؤال الثاني: اكتب $\log_6 8$ بدلالة اللوغاريتم العشري ثم أوجد قيمته مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.\nالإجابة: $\frac{\log 8}{\log 6} \approx 1.1606$.